Uma espécie rara de insetos gigantes foi descoberta numa floresta da Amazónia. Para proteger esta espécie, os cientistas fizeram transportar alguns dos insetos para uma área protegida. A população de insetos,
meses depois de ser deslocada, era dada por:
a) Qual é o domínio da função no contexto do problema?
b) Qual é a população, passados 5 anos?
c) Passados quantos anos a população atinge 1.000 insetos?
b) Qual é a população, passados 5 anos?
c) Passados quantos anos a população atinge 1.000 insetos?
Passo 1
O enunciado dá a população de insetos,
meses depois do transporte, pela função
As perguntas são:
- (a) Qual é o domínio da função no contexto do problema?
- (b) Qual é a população passados 5 anos?
- (c) Em que momento (em anos) a população atinge
insetos?
Informações relevantes fornecidas:
- A variável
mede tempo em meses depois do deslocamento (portanto deve representar meses contados a partir de zero). - A função é uma razão (fração) cujo denominador é
, o que impõe restrição matemática se esse denominador for zero. - No contexto real do problema,
não pode ser negativo (não se considera tempo anterior ao transporte).
Passo 2
Determinar o domínio no contexto (resolvendo as restrições matemáticas e interpretando no mundo real).
Primeiro, regra matemática: o denominador não pode ser zero. Resolver
Isolando
,
Calcular a divisão:
Portanto, matematicamente
. Agora interpretar no contexto:
representa meses depois do transporte, portanto só faz sentido considerar
(não fazemos tempo negativo). Como
está fora da região
, não há conflito prático. Conclui-se que, no contexto do problema,
pode ser qualquer número real não negativo (tempo pode ser fracionário, por exemplo medido em meses com décimos).
Logo o domínio, no contexto, é
Passo 3
Resolver (b): população passados 5 anos.
Primeiro converter anos para meses:
ano tem
meses, então
anos correspondem a
Agora avaliar
em
:
Calcule passo a passo o numerador e o denominador.
Numerador:
Denominador:
Portanto
Simplificar a fração multiplicando numerador e denominador por
:
Fazendo a divisão (aproximação decimal):
Como população é um número de indivíduos, costuma-se arredondar para o inteiro mais próximo. Assim, passados
anos a população é aproximadamente
insetos (se preferir a forma exata,
).
Passo 4
Resolver (c): encontrar
tal que
insetos e expressar o resultado em anos.
Começar igualando a função a
:
Multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador (válido porque, no domínio considerado, denominador não é zero):
Expandir ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Igualando:
Isolar
:
Dividindo:
Interpretar:
meses. Converter para anos: dividir por
:
Em anos decimais,
Em anos e meses,
anos e
meses (porque
meses).
Fazer checagem rápida substituindo
na expressão original:
Numerador:
Denominador:
Dividindo: . Confere.
Numerador:
Denominador:
Dividindo:
Passo 5
Comentário útil (interpretação): para
muito grande a função tende a um valor limite (assintótico). Para ver isso observe os termos de maior ordem em
:
Isso significa que, a muito longo prazo, a população se aproxima de
insetos; portanto atingir
é compatível com esse comportamento (e nós encontramos que ocorre aos
meses).
Resposta
Domínio:
População após
anos: aproximadamente
insetos
Tempo para
insetos:
meses
(ou
anos e
meses)