Uma espécie rara de insetos gigantes foi descoberta numa floresta da Amazónia. Para proteger esta espécie, os cientistas fizeram transportar alguns dos insetos para uma área protegida. A população de insetos, t meses depois de ser deslocada, era dada por:
P(t)=\frac{50(1+0,5 t)}{2+0,01 t}
a) Qual é o domínio da função no contexto do problema?
b) Qual é a população, passados 5 anos?
c) Passados quantos anos a população atinge 1.000 insetos?

Passo 1

O enunciado dá a população de insetos, t meses depois do transporte, pela função
P(t)=\frac{50(1+0,5\,t)}{2+0,01\,t}.
As perguntas são:
  • (a) Qual é o domínio da função no contexto do problema?
  • (b) Qual é a população passados 5 anos?
  • (c) Em que momento (em anos) a população atinge 1\,000 insetos?
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável t mede tempo em meses depois do deslocamento (portanto t deve representar meses contados a partir de zero).
  • A função é uma razão (fração) cujo denominador é 2+0,01\,t, o que impõe restrição matemática se esse denominador for zero.
  • No contexto real do problema, t não pode ser negativo (não se considera tempo anterior ao transporte).

Passo 2

Determinar o domínio no contexto (resolvendo as restrições matemáticas e interpretando no mundo real).
Primeiro, regra matemática: o denominador não pode ser zero. Resolver
2+0,01\,t \neq 0.
Isolando t,
0,01\,t \neq -2 \quad\Rightarrow\quad t \neq \frac{-2}{0,01}.
Calcular a divisão:
\frac{-2}{0,01} = \frac{-2}{\tfrac{1}{100}} = -2\cdot 100 = -200.
Portanto, matematicamente t\neq -200. Agora interpretar no contexto: t representa meses depois do transporte, portanto só faz sentido considerar t\ge 0 (não fazemos tempo negativo). Como -200 está fora da região t\ge 0, não há conflito prático. Conclui-se que, no contexto do problema, t pode ser qualquer número real não negativo (tempo pode ser fracionário, por exemplo medido em meses com décimos).
Logo o domínio, no contexto, é
[0,\infty).

Passo 3

Resolver (b): população passados 5 anos.
Primeiro converter anos para meses: 1 ano tem 12 meses, então 5 anos correspondem a
t = 5\times 12 = 60\\ \text{meses}.
Agora avaliar P(t) em t=60:
P(60)=\frac{50\bigl(1+0,5\cdot 60\bigr)}{2+0,01\cdot 60}.
Calcule passo a passo o numerador e o denominador.
Numerador:
0,5\cdot 60 = 30,\qquad 1+30=31,\qquad 50\cdot 31 = 1\,550.
Denominador:
0,01\cdot 60 = 0,6,\qquad 2+0,6=2,6.
Portanto
P(60)=\frac{1\,550}{2,6}.
Simplificar a fração multiplicando numerador e denominador por 10:
P(60)=\frac{15\,500}{26}=\frac{7\,750}{13}.
Fazendo a divisão (aproximação decimal):
\frac{7\,750}{13}\approx 596,153846\ldots
Como população é um número de indivíduos, costuma-se arredondar para o inteiro mais próximo. Assim, passados 5 anos a população é aproximadamente 596 insetos (se preferir a forma exata, P(60)=\dfrac{7\,750}{13}).

Passo 4

Resolver (c): encontrar t tal que P(t)=1\,000 insetos e expressar o resultado em anos.
Começar igualando a função a 1\,000:
\frac{50(1+0,5\,t)}{2+0,01\,t}=1\,000.
Multiplicar ambos os lados por 2+0,01\,t para eliminar o denominador (válido porque, no domínio considerado, denominador não é zero):
50(1+0,5\,t)=1\,000(2+0,01\,t).
Expandir ambos os lados:
Lado esquerdo:
50\cdot 1 + 50\cdot 0,5\,t = 50 + 25\,t.
Lado direito:
1\,000\cdot 2 + 1\,000\cdot 0,01\,t = 2\,000 + 10\,t.
Igualando:
50 + 25\,t = 2\,000 + 10\,t.
Isolar t:
25\,t - 10\,t = 2\,000 - 50,
15\,t = 1\,950.
Dividindo:
t = \frac{1\,950}{15} = 130.
Interpretar: t=130 meses. Converter para anos: dividir por 12:
\frac{130}{12} = 10 + \frac{10}{12} = 10 + \frac{5}{6}.
Em anos decimais,
\frac{130}{12}\approx 10,833333\ldots\\ \text{anos}.
Em anos e meses, 10 anos e 10 meses (porque 0{,}8333\dots\times 12 =10 meses).
Fazer checagem rápida substituindo t=130 na expressão original:
Numerador: 50(1+0,5\cdot 130)=50(1+65)=50\cdot 66=3\,300.
Denominador: 2+0,01\cdot 130=2+1{,}3=3{,}3.
Dividindo: 3\,300/3{,}3=1\,000. Confere.

Passo 5

Comentário útil (interpretação): para t muito grande a função tende a um valor limite (assintótico). Para ver isso observe os termos de maior ordem em t:
P(t)\sim \frac{50\cdot 0,5\,t}{0,01\,t} = 50\cdot\frac{0,5}{0,01}=50\cdot 50 = 2\,500.
Isso significa que, a muito longo prazo, a população se aproxima de 2\,500 insetos; portanto atingir 1\,000 é compatível com esse comportamento (e nós encontramos que ocorre aos 130 meses).

Resposta

Domínio: [0,\infty)
População após 5 anos: aproximadamente 596 insetos \left(\dfrac{7\,750}{13}\approx 596,1538\right)
Tempo para 1\,000 insetos: 130 meses =\dfrac{130}{12}\\ \text{anos}\approx 10,8333\\ \text{anos} (ou 10 anos e 10 meses)

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