Nos itens abaixo determine a lei de formação da função
e
e seus domínios:
e
.
Passo 1
O enunciado dá as funções
e
.
Pede-se a lei de formação (a fórmula explícita) e o domínio para as composições:
e
.
Pede-se a lei de formação (a fórmula explícita) e o domínio para as composições:
Passo 2
O que é composição de funções e como achar o domínio dela:
- Definição: para duas funções
e , a composição é a função dada por
Ou seja, primeiro calcula-se
e depois aplica-se
ao resultado.
- Regra de domínio: o domínio de
é
Na prática: um
só serve se estiver no domínio de
e, além disso, o valor
estiver no domínio de
.
- Observação prática útil aqui: polinômios (como
, ) estão definidos para todos os números reais, isto é, têm domínio . Isso simplifica muito: quando tanto quanto são polinômios, todas as composições terão domínio .
Passo 3
Calcular
passo a passo.
Começo por substituir em
:
Começo por substituir
Como
, segue
Agora distribuo o
e somo constantes:
logo
Passo 4
Domínio de
.
Cada uma das funções e
é um polinômio, logo
e
.
Pela regra do domínio da composição, .
Cada uma das funções
Pela regra do domínio da composição,
Passo 5
Calcular
passo a passo.
Substituo em
:
Substituo
Como
, temos
Agora expando o quadrado:
Assim
Somando as constantes
, obtemos
Passo 6
Domínio de
.
Novamente e
são polinômios, então
.
Novamente
Passo 7
Calcular
.
Substituo em
:
Substituo
Multiplicando e somando:
logo
Passo 8
Domínio de
.
Como é polinômio,
.
Como
Passo 9
Calcular
.
Substituo em
:
Substituo
Expando o quadrado
. Uma maneira cuidadosa:
Então
Somando
, fica
(ou escrevendo em ordem decrescente de potência:
).
Passo 10
Domínio de
.
Como é polinômio,
.
Como