Nos itens abaixo determine a lei de formação da função f \circ g, g \circ g, f \circ f e g \circ g e seus domínios:
f(x)=3 x-5 e g(x)=2-x^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=3x-5 e g(x)=2-x^{2}.
Pede-se a lei de formação (a fórmula explícita) e o domínio para as composições:
f\circ g,\; g\circ f,\; f\circ f e g\circ g.

Passo 2

O que é composição de funções e como achar o domínio dela:
  • Definição: para duas funções f e g, a composição f\circ g é a função dada por
(f\circ g)(x)=f(g(x)).
Ou seja, primeiro calcula-se g(x) e depois aplica-se f ao resultado.
  • Regra de domínio: o domínio de f\circ g é
D_{f\circ g}=\{x\in D_g \mid g(x)\in D_f\}.
Na prática: um x só serve se estiver no domínio de g e, além disso, o valor g(x) estiver no domínio de f.
  • Observação prática útil aqui: polinômios (como 3x-5, 2-x^{2}) estão definidos para todos os números reais, isto é, têm domínio \mathbb{R}. Isso simplifica muito: quando tanto f quanto g são polinômios, todas as composições terão domínio \mathbb{R}.

Passo 3

Calcular f\circ g passo a passo.
Começo por substituir g(x) em f:
(f\circ g)(x)=f(g(x))=3\bigl(g(x)\bigr)-5.
Como \;g(x)=2-x^{2}\;, segue
(f\circ g)(x)=3(2-x^{2})-5.
Agora distribuo o 3 e somo constantes:
3\cdot 2=6,\qquad 3\cdot(-x^{2})=-3x^{2},
logo
(f\circ g)(x)=6-3x^{2}-5=1-3x^{2}.

Passo 4

Domínio de f\circ g.
Cada uma das funções f e g é um polinômio, logo D_f=\mathbb{R} e D_g=\mathbb{R}.
Pela regra do domínio da composição, D_{f\circ g}=\mathbb{R}.

Passo 5

Calcular g\circ f passo a passo.
Substituo f(x) em g:
(g\circ f)(x)=g(f(x))=2-\bigl(f(x)\bigr)^{2}.
Como \;f(x)=3x-5\;, temos
(g\circ f)(x)=2-(3x-5)^{2}.
Agora expando o quadrado:
(3x-5)^{2}=9x^{2}-30x+25.
Assim
(g\circ f)(x)=2-(9x^{2}-30x+25)=2-9x^{2}+30x-25.
Somando as constantes 2-25=-23, obtemos
(g\circ f)(x)=-9x^{2}+30x-23.

Passo 6

Domínio de g\circ f.
Novamente f e g são polinômios, então D_{g\circ f}=\mathbb{R}.

Passo 7

Calcular f\circ f.
Substituo f(x) em f:
(f\circ f)(x)=f(f(x))=3\bigl(f(x)\bigr)-5=3(3x-5)-5.
Multiplicando e somando:
3\cdot(3x)=9x,\qquad 3\cdot(-5)=-15,
logo
(f\circ f)(x)=9x-15-5=9x-20.

Passo 8

Domínio de f\circ f.
Como f é polinômio, D_{f\circ f}=\mathbb{R}.

Passo 9

Calcular g\circ g.
Substituo g(x) em g:
(g\circ g)(x)=g(g(x))=2-\bigl(g(x)\bigr)^{2}=2-(2-x^{2})^{2}.
Expando o quadrado (2-x^{2})^{2}. Uma maneira cuidadosa:
(2-x^{2})^{2}=4-4x^{2}+x^{4}.
Então
(g\circ g)(x)=2-(4-4x^{2}+x^{4})=2-4+4x^{2}-x^{4}.
Somando 2-4=-2, fica
(g\circ g)(x)=-x^{4}+4x^{2}-2.
(ou escrevendo em ordem decrescente de potência: -x^{4}+4x^{2}-2).

Passo 10

Domínio de g\circ g.
Como g é polinômio, D_{g\circ g}=\mathbb{R}.

Resposta

f\circ g:\\ (f\circ g)(x)=1-3x^{2},\; D_{f\circ g}=\mathbb{R}\n
g\circ f:\\ (g\circ f)(x)=-9x^{2}+30x-23,\; D_{g\circ f}=\mathbb{R}\n
f\circ f:\\ (f\circ f)(x)=9x-20,\; D_{f\circ f}=\mathbb{R}\n
g\circ g:\\ (g\circ g)(x)=-x^{4}+4x^{2}-2,\; D_{g\circ g}=\mathbb{R}

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