A altura (h) de uma árvore, em metros, é dada pela fórmula h(t)=10-\frac{100}{10+t} onde t é a idade em anos.
Com quantos anos a árvore atinge 8 m de altura?

Passo 1

O enunciado fornece a altura da árvore em função da idade por h(t)=10-\frac{100}{10+t}, onde t é a idade em anos e h(t) é a altura em metros.
A pergunta é: com quantos anos a árvore atinge 8\\ \text{m}?
Informações relevantes:
  • A fórmula dada é h(t)=10-\dfrac{100}{10+t}.
  • A variável t representa idade em anos (na prática, t\ge 0).
  • Queremos o valor de t tal que h(t)=8.

Passo 2

Vamos escrever a equação que traduz "altura igual a 8\\ \text{m}":
8 = 10 - \frac{100}{10+t}.
Isto é uma equação que envolve uma fração com a variável no denominador. Para isolarmos t fazemos operações algebricas válidas (somar/subtrair ambos os lados, multiplicar ambos os lados por um número não nulo, etc.). Primeiro passo algébrico: subtrair 10 de ambos os lados para isolar a fração.

Passo 3

Subtraindo 10 de ambos os lados obtemos:
8-10 = -\frac{100}{10+t}.
Calcule o lado esquerdo:
-2 = -\frac{100}{10+t}.

Passo 4

Multiplicar ambos os lados por -1 simplifica os sinais:
2 = \frac{100}{10+t}.

Passo 5

Agora temos uma igualdade entre um número e uma fração. Para eliminar a fração, multiplicamos ambos os lados por 10+t (devemos notar que 10+t\neq 0; na prática t\ge0 garante isso). Fazendo a multiplicação:
2(10+t)=100.

Passo 6

Desenvolvendo o lado esquerdo:
20 + 2t = 100.
Agora isolamos t: subtraia 20 dos dois lados:
2t = 80.
Divida ambos os lados por 2:
t = 40.

Passo 7

Verificação rápida: substituir t=40 na fórmula para confirmar:
h(40)=10-\frac{100}{10+40}=10-\frac{100}{50}=10-2=8.
A verificação bate, logo a solução é válida. Também faz sentido fisicamente porque t=40 é não-negativo.

Passo 8

Interpretação curta (para ajudar na prova): a função h(t)=10-\frac{100}{10+t} tende para 10 quando t\to\infty, ou seja, a altura máxima assintótica é 10\\ \text{m}. A árvore alcança exatamente 8\\ \text{m} no instante t=40 anos.

Resposta

40 anos

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