A altura (h) de uma árvore, em metros, é dada pela fórmula
onde
é a idade em anos.
Com quantos anos a árvore atinge
de altura?
Com quantos anos a árvore atinge
Passo 1
O enunciado fornece a altura da árvore em função da idade por
, onde
é a idade em anos e
é a altura em metros.
A pergunta é: com quantos anos a árvore atinge ?
Informações relevantes:
A pergunta é: com quantos anos a árvore atinge
Informações relevantes:
- A fórmula dada é
. - A variável
representa idade em anos (na prática, ). - Queremos o valor de
tal que .
Passo 2
Vamos escrever a equação que traduz "altura igual a
":
Isto é uma equação que envolve uma fração com a variável no denominador. Para isolarmos
fazemos operações algebricas válidas (somar/subtrair ambos os lados, multiplicar ambos os lados por um número não nulo, etc.). Primeiro passo algébrico: subtrair
de ambos os lados para isolar a fração.
Passo 3
Subtraindo
de ambos os lados obtemos:
Calcule o lado esquerdo:
Passo 4
Multiplicar ambos os lados por
simplifica os sinais:
Passo 5
Agora temos uma igualdade entre um número e uma fração. Para eliminar a fração, multiplicamos ambos os lados por
(devemos notar que
; na prática
garante isso). Fazendo a multiplicação:
Passo 6
Desenvolvendo o lado esquerdo:
Agora isolamos
: subtraia
dos dois lados:
Divida ambos os lados por
:
Passo 7
Verificação rápida: substituir
na fórmula para confirmar:
A verificação bate, logo a solução é válida. Também faz sentido fisicamente porque
é não-negativo.
Passo 8
Interpretação curta (para ajudar na prova): a função
tende para
quando
, ou seja, a altura máxima assintótica é
. A árvore alcança exatamente
no instante
anos.