As especificaçōes para fabricaçäo de certo produto exigem 25 mg de um composto Y. Sabe-se que a distribuiçôo de Y no produto ê normal, com desvio padräo de 2 mg para qualquer média. O fabricante está examinando a inspeçäo de cada lote antes de sua liberaçào para decidir entre en-tregá-lo ao consumo ou mantê-lo para reprocessamento.
a) Para uma amostra de 16 produtos, quais seriam os limites decisórios, se a probabilidade de reter incorretamente o produto que satisfaça às especificaçöes deva ser limitada a 5 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a fabricação de um produto que precisa ter 25 mg de um composto Y. A distribuição desse composto é normal, com desvio padrão de 2 mg. O fabricante vai inspecionar uma amostra de 16 produtos para decidir se o lote está bom ou precisa ser reprocessado. A gente precisa descobrir quais são os limites decisórios dessa inspeção, garantindo que a chance de rejeitar um lote bom seja no máximo 5%. Vamos usar conceitos de estatística, como distribuição normal e distribuição amostral da média, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como estamos trabalhando com a média de uma amostra, precisamos entender como a média se comporta. Sabemos que, se a população tem média μ = 25 mg e desvio padrão σ = 2 mg, a distribuição da média amostral (com tamanho n = 16) também é normal, com média μ = 25 mg e desvio padrão da média (σₓ̄) igual a σ dividido pela raiz de n.
Então,
sigmabarx = sigmaraizn = 2raiz16 = 24 = 0,5 mg

Passo 3

Agora, queremos encontrar os limites que delimitam uma região onde a probabilidade de a média amostral cair fora desses limites, dado que o lote está bom (μ = 25 mg), seja de no máximo 5%. Isso significa que 95% das médias amostrais estarão dentro desses limites.
Como a distribuição é normal, podemos usar a propriedade da simetria. Vamos dividir os 5% restantes igualmente nos dois lados: 2,5% na parte inferior e 2,5% na parte superior.

Passo 4

Precisamos encontrar os valores z que correspondem a essas probabilidades. Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, sabemos que:
z0,025 = -1,96 e z0,975 = 1,96
Esses valores de z correspondem aos pontos onde ficam 2,5% das probabilidades em cada extremidade.

Passo 5

Agora, vamos transformar esses valores z em limites para a média amostral usando a fórmula:
barx = mu + z cdot sigmabarx
Para o limite inferior:
barxinferior = 25 + (-1,96) cdot 0,5 = 25 - 0,98 = 24,02 mg
Para o limite superior:
barxsuperior = 25 + 1,96 cdot 0,5 = 25 + 0,98 = 25,98 mg

Resposta

Os limites decisórios são 24,02 mg e 25,98 mg. Se a média da amostra de 16 produtos estiver abaixo de 24,02 mg ou acima de 25,98 mg, o lote será reprocessado, garantindo que a chance de rejeitar um lote bom seja de no máximo 5%.

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