Uma amostra de 25 elementos, extraida de uma população normal, resultou média 13,5 com desvio padräo de 4,4. Efetuar o teste ao nivel de 0,05 para a hipotese:
contra
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de estatística sobre Teste de Hipótese para a Média. O enunciado nos dá uma amostra de 25 elementos provenientes de uma população que segue uma distribuição normal, com média amostral de 13,5 e desvio padrão de 4,4. Queremos testar, ao nível de significância de 5% (0,05), se a média da população é realmente 16, ou seja, estamos testando a hipótese $ H_{0}: \mu = 16 $ contra $ \mu \neq 16 $.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
- Hipótese Nula ($ H_{0} $): A média da população é igual a 16. $ H_{0}: \mu = 16 $
- Hipótese Alternativa ($ H_{1} $): A média da população é diferente de 16. $ H_{1}: \mu \neq 16 $
Passo 3
Como temos uma amostra pequena (n = 25) e o desvio padrão da população não é conhecido, vamos usar o teste t de Student para comparar a média amostral com a média hipotética.
A fórmula para o teste t é:
Onde:
- $ \bar{x} $ é a média amostral
- $ \mu_0 $ é a média hipotética
- $ s $ é o desvio padrão amostral
- $ n $ é o tamanho da amostra
Passo 4
Vamos calcular o valor de t usando os valores fornecidos:
Passo 5
Agora, precisamos determinar o valor crítico t para um teste bicaudal com um nível de significância de 0,05 e graus de liberdade $ df = n - 1 = 24 $.
Consultando uma tabela t ou usando uma ferramenta estatística, encontramos que o valor crítico t para $ df = 24 $ e $ \alpha = 0,05 $ (dividido por 2 para cada cauda) é aproximadamente $ \pm 2,064 $.
Passo 6
Comparamos o valor calculado de t com os valores críticos:
- Nosso valor de t calculado é -2,84
- Os valores críticos são -2,064 e 2,064
Como -2,84 é menor que -2,064, estamos na região de rejeição.
Resposta
Como o valor calculado de t (-2,84) está além do valor crítico (-2,064), rejeitamos a hipótese nula $ H_{0} $. Portanto, há evidências suficientes para concluir que a média da população é significativamente diferente de 16 ao nível de significância de 5%.