Uma amostra de 25 elementos, extraida de uma população normal, resultou média 13,5 com desvio padräo de 4,4. Efetuar o teste ao nivel de 0,05 para a hipotese: H0: mu=16 contra mu neq 16.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de estatística sobre Teste de Hipótese para a Média. O enunciado nos dá uma amostra de 25 elementos provenientes de uma população que segue uma distribuição normal, com média amostral de 13,5 e desvio padrão de 4,4. Queremos testar, ao nível de significância de 5% (0,05), se a média da população é realmente 16, ou seja, estamos testando a hipótese $ H_{0}: \mu = 16 $ contra $ \mu \neq 16 $.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese Nula ($ H_{0} $): A média da população é igual a 16. $ H_{0}: \mu = 16 $
  • Hipótese Alternativa ($ H_{1} $): A média da população é diferente de 16. $ H_{1}: \mu \neq 16 $

Passo 3

Como temos uma amostra pequena (n = 25) e o desvio padrão da população não é conhecido, vamos usar o teste t de Student para comparar a média amostral com a média hipotética.
A fórmula para o teste t é:
t = barx - mu0sraizn
Onde:
  • $ \bar{x} $ é a média amostral
  • $ \mu_0 $ é a média hipotética
  • $ s $ é o desvio padrão amostral
  • $ n $ é o tamanho da amostra

Passo 4

Vamos calcular o valor de t usando os valores fornecidos:
t = 13,5 - 164,4raiz25 = -2,54,45 = -2,50,88 approx -2,84

Passo 5

Agora, precisamos determinar o valor crítico t para um teste bicaudal com um nível de significância de 0,05 e graus de liberdade $ df = n - 1 = 24 $.
Consultando uma tabela t ou usando uma ferramenta estatística, encontramos que o valor crítico t para $ df = 24 $ e $ \alpha = 0,05 $ (dividido por 2 para cada cauda) é aproximadamente $ \pm 2,064 $.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de t com os valores críticos:
  • Nosso valor de t calculado é -2,84
  • Os valores críticos são -2,064 e 2,064
Como -2,84 é menor que -2,064, estamos na região de rejeição.

Resposta

Como o valor calculado de t (-2,84) está além do valor crítico (-2,064), rejeitamos a hipótese nula $ H_{0} $. Portanto, há evidências suficientes para concluir que a média da população é significativamente diferente de 16 ao nível de significância de 5%.

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