Retirada uma amostra aleatória de 15 parafusos, obtiveram-se as seguintes medidas para seus diâmetros:
Teste
contra
. Adotando:
.
Teste
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de estatística onde retiramos uma amostra de 15 parafusos e medimos os diâmetros deles. As medidas são: 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14 e 15. A ideia é testar a hipótese de que a média real dos diâmetros desses parafusos é 12,5. Vamos usar um teste de hipótese para a média com nível de significância de 5% (α = 0,05).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da nossa amostra. Somamos todos os diâmetros e dividimos pelo número de parafusos.
Passo 3
Vamos fazer a soma dos diâmetros:
10 + 10 + 10 + 11 + 11 + 12 + 12 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14 + 14 + 14 + 15 = 180
Então, a média é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra. Primeiro, precisamos calcular a variância. A fórmula da variância amostral é:
Vamos calcular cada
:
- (10 - 12)^2 = 4
- (10 - 12)^2 = 4
- (10 - 12)^2 = 4
- (11 - 12)^2 = 1
- (11 - 12)^2 = 1
- (12 - 12)^2 = 0
- (12 - 12)^2 = 0
- (12 - 12)^2 = 0
- (12 - 12)^2 = 0
- (13 - 12)^2 = 1
- (13 - 12)^2 = 1
- (14 - 12)^2 = 4
- (14 - 12)^2 = 4
- (14 - 12)^2 = 4
- (15 - 12)^2 = 9
Somando esses valores:
4 + 4 + 4 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 4 + 4 + 4 + 9 = 32
Agora, a variância:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Passo 5
Com a média da amostra (
) e o desvio padrão (
), podemos calcular o erro padrão da média:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor do teste t. A fórmula é:
Onde
é a média hipotética.
Passo 7
Determinar os graus de liberdade (df):
Com df = 14 e nível de significância α = 0,05, vamos verificar os valores críticos da tabela t de Student.
- Para o teste bilateral (
): o valor crítico é aproximadamente ±2,145. - Para o teste unilateral à direita (
): o valor crítico é aproximadamente 1,761. - Para o teste unilateral à esquerda (
): o valor crítico é aproximadamente -1,761.
Passo 8
Comparar o valor calculado de t com os valores críticos:
- No teste bilateral,
está entre e , então não rejeitamos . - No teste unilateral à direita,
não é maior que , então não rejeitamos . - No teste unilateral à esquerda,
é maior que , então não rejeitamos .
Resposta
Após realizar os cálculos, concluímos que não há evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula
nos três testes considerandos ao nível de significância de 5%. Portanto, a média dos diâmetros dos parafusos pode ser considerada igual a 12,5.