Retirada uma amostra aleatória de 15 parafusos, obtiveram-se as seguintes medidas para seus diâmetros:
lllllllllllllll10 & 10 & 10 & 11 & 11 & 12 & 12 & 12 & 12 & 13 & 13 & 14 & 14 & 14 & 15
Teste H0: mu=12,5 contra mu=12,5 ; mu>12,5 ; mu<12,5. Adotando: alpha=0,05.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de estatística onde retiramos uma amostra de 15 parafusos e medimos os diâmetros deles. As medidas são: 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14 e 15. A ideia é testar a hipótese de que a média real dos diâmetros desses parafusos é 12,5. Vamos usar um teste de hipótese para a média com nível de significância de 5% (α = 0,05).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da nossa amostra. Somamos todos os diâmetros e dividimos pelo número de parafusos.
barx = 10 + 10 + 10 + 11 + 11 + 12 + 12 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14 + 14 + 14 + 1515

Passo 3

Vamos fazer a soma dos diâmetros:
10 + 10 + 10 + 11 + 11 + 12 + 12 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14 + 14 + 14 + 15 = 180
Então, a média é:
barx = 18015 = 12

Passo 4

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra. Primeiro, precisamos calcular a variância. A fórmula da variância amostral é:
s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada (xi - barx)^2:
  • (10 - 12)^2 = 4
  • (10 - 12)^2 = 4
  • (10 - 12)^2 = 4
  • (11 - 12)^2 = 1
  • (11 - 12)^2 = 1
  • (12 - 12)^2 = 0
  • (12 - 12)^2 = 0
  • (12 - 12)^2 = 0
  • (12 - 12)^2 = 0
  • (13 - 12)^2 = 1
  • (13 - 12)^2 = 1
  • (14 - 12)^2 = 4
  • (14 - 12)^2 = 4
  • (14 - 12)^2 = 4
  • (15 - 12)^2 = 9
Somando esses valores:
4 + 4 + 4 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 4 + 4 + 4 + 9 = 32
Agora, a variância:
s^2 = 3215 - 1 = 3214 approx 2,29
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
s approx raiz2,29 approx 1,51

Passo 5

Com a média da amostra ( barx = 12) e o desvio padrão ( s approx 1,51), podemos calcular o erro padrão da média:
SE = sraizn = 1,51raiz15 approx 1,513,87 approx 0,39

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor do teste t. A fórmula é:
t = barx - mu0SE
Onde mu0 = 12,5 é a média hipotética.
t = 12 - 12,50,39 approx -0,50,39 approx -1,28

Passo 7

Determinar os graus de liberdade (df):
df = n - 1 = 15 - 1 = 14
Com df = 14 e nível de significância α = 0,05, vamos verificar os valores críticos da tabela t de Student.
  • Para o teste bilateral ( H1: mu neq 12,5): o valor crítico é aproximadamente ±2,145.
  • Para o teste unilateral à direita ( H1: mu > 12,5): o valor crítico é aproximadamente 1,761.
  • Para o teste unilateral à esquerda ( H1: mu < 12,5): o valor crítico é aproximadamente -1,761.

Passo 8

Comparar o valor calculado de t com os valores críticos:
  • No teste bilateral, -1,28 está entre -2,145 e 2,145, então não rejeitamos H0.
  • No teste unilateral à direita, -1,28 não é maior que 1,761, então não rejeitamos H0.
  • No teste unilateral à esquerda, -1,28 é maior que -1,761, então não rejeitamos H0.

Resposta

Após realizar os cálculos, concluímos que não há evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula H0: mu = 12,5 nos três testes considerandos ao nível de significância de 5%. Portanto, a média dos diâmetros dos parafusos pode ser considerada igual a 12,5.

Exercícios relacionados