Suponha que estejamos lançando uma moeda para cima cuja probabilidade de que um resultado “cara” ocorra seja de p=1 / 2. Decidimos então lançar a moeda até que a primeira cara ocorra, e logo podemos modelar o número de vezes necessário para que a primeira cara ocorra através de uma
v.a. X sim Geometrica(1 / 2), com função massa de probabilidade dada por
P(X=k)=(1-12)^k-1 cdot 12, k=1,2, ldots
Calcule var(X).

Passo 1

O enunciado define a variável aleatória X como o número de lançamentos necessários até a primeira “cara” numa moeda com probabilidade de “cara” p=tfrac12. Logo,
P(X=k)=l(1-tfrac12r)^k-1,tfrac12 (k=1,2,dots)
O conteúdo aqui é a distribuição geométrica e queremos calcular Var(X). Para isso, vamos obter E[X] e E[X^2] usando séries infinitas.

Passo 2

Calcular E[X].
E[X] =sumk=1^inftyk;P(X=k) =sumk=1^inftyk;p,q^,k-1,
onde p=tfrac12 e q=1-p=tfrac12. Lembrando da série
sumk=1^inftyk,r^,k-1 =1(1-r)^2,
para |r|<1, temos
E[X] =p;1(1-q)^2 =;p;1p^2 =1p
Portanto,
E[X]=1p

Passo 3

Calcular E[X^2].
E[X^2] =sumk=1^inftyk^2;P(X=k) =p;sumk=1^inftyk^2,q^,k-1
Usamos a série conhecida
sumk=1^inftyk^2,r^,k-1 =1+r(1-r)^3,
para |r|<1. Tomando r=q,
E[X^2] =p;1+q(1-q)^3 =;p;1+qp^3 =1+qp^2
Como 1+q=1+(1-p)=2-p, fica
E[X^2]=2-pp^2

Passo 4

Calcular Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2.
Var(X) =2-pp^2-l(1pr)^2 =2-p-1p^2 =1-pp^2 =qp^2

Passo 5

Substituindo p=tfrac12 e q=1-p=tfrac12,
Var(X) =tfrac12(tfrac12)^2 =tfrac12tfrac14 =2

Resposta

Var(X)=2

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