Especificar a bomba centrífuga para a unidade de tratamento de água constituída por um filtro de carvão (A), coluna de troca catiônica (B) e coluna de troca aniônica (C). Capacidade de instalação: 6 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. A tubulação tem 35 m de comprimento (aço comercial, 1 \frac{1}{2} in # 40) e conta com uma válvula globo (aberta) e 12 joelhos de 90^{\circ}. O desnível entre os pontos 1 e 2 é praticamente nulo. Temperatura de operação: 25^{\circ} \mathrm{C}.
Especificação das colunas:
Coluna
Altura de recheio (\mathrm{cm})
Diâmetro (\mathrm{cm})
A
50
50
B
90
55
C
90
55
Especificação do recheio:
Coluna
Granulometria
Esfericidade
Porosidade
A
# Tyler -35+48 (30%)
-48+65 (40%)
-65+100 (30%)
0,60
0,42
B
D_{p}=0,45 \mathrm{~mm}
0,85
0,37
C
D_{p}=0,70 \mathrm{~mm}
0,85
0,38
Passo 1
O enunciado pede que eu especifique a bomba centrífuga para alimentar a unidade formada por três colunas em série (filtro de carvão A, coluna catiônica B e coluna aniônica C) com capacidade de instalação 6\\ \mathrm{m^3/h}. Dados fornecidos e relevantes (recolhidos do enunciado e da figura):
Coluna A: mistura de granulometrias tipo Tyler: \#35+48 (30%), \#48+65 (40%), \#65+100 (30%); esfericidade \;S_p=0{,}60; porosidade \;\epsilon_A = 0{,}42. Como o enunciado deu faixas de tela, vou converter essas malhas a aberturas típicas (hipótese padrão de tabela de malhas) e calcular um diâmetro médio representativo do grão.
Observações que influenciam a resolução (não resolvo aqui, apenas enumero): preciso computar perdas de carga nos leitos (uso equação de Ergun), perdas por atrito na tubulação (Darcy–Weisbach com fator de atrito calculado por Swamee–Jain/Colebrook), perdas localizadas (valvula, joelhos) e converter pressão em altura manométrica. Também preciso escolher hipóteses práticas para diâmetro interno, rugosidade do aço e coeficientes K para válvula e cotovelos — eu explicitarei e justificarei cada hipótese na solução.
Passo 2
Conversão das quantidades geométricas da tubulação e das colunas em áreas e velocidades superficiais — isto diz como calcular a velocidade do fluido, que é usada tanto na Ergun quanto em Darcy–Weisbach.
Área de cada coluna (seção transversal): \;A=\dfrac{\pi D^2}{4}.
Coluna C: mesma de B,U_C\approx 0{,}00702\\ \mathrm{m/s}.
Tubulação: hipótese de diâmetro interno \;D_{\text{tubo}}=0{,}0409\\ \mathrm{m} (NPS 1{,}5" \#40). Área do tubo:A_{\text{tubo}}=\frac{\pi D_{\text{tubo}}^2}{4}\approx 0{,}0013139\\ \mathrm{m^2},velocidade no tubo:U_{\text{tubo}}=\frac{Q}{A_{\text{tubo}}}=\frac{0{,}0016667}{0{,}0013139}\approx 1{,}268\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida (didática): a “velocidade superficial” numa coluna preenchida é a vazão volumétrica dividida pela área da seção do leito; ela é o parâmetro que aparece na equação de Ergun para calcular a perda de carga através do leito empacotado. Na tubulação usa-se a velocidade real do fluxo para calcular número de Reynolds e perdas por atrito.
Passo 3
Converter as granulometrias da Coluna A (série Tyler) para um diâmetro de partícula médio representativo — passo necessário para usar a equação de Ergun.
Hipóteses (comunicadas): uso aberturas típicas de malhas Tyler (valores aproximados a partir de tabelas padrão):
abertura média \#35 \approx 0{,}500\\ \mathrm{mm},
abertura média \#48 \approx 0{,}354\\ \mathrm{mm},
abertura média \#65 \approx 0{,}212\\ \mathrm{mm},
abertura média \#100 \approx 0{,}149\\ \mathrm{mm}.
As frações do leito A são 30% no intervalo \#35+48, 40% em \#48+65, 30% em \#65+100. Para cada intervalo uso a média aritmética das aberturas de malha como representação do diâmetro médio do grão naquela fração:
média do intervalo \#35+48: (0{,}500+0{,}354)/2=0{,}427\\ \mathrm{mm}.
média do intervalo \#48+65: (0{,}354+0{,}212)/2=0{,}283\\ \mathrm{mm}.
média do intervalo \#65+100: (0{,}212+0{,}149)/2=0{,}1805\\ \mathrm{mm}.
Observação didática: esta é uma aproximação prática comum quando só há distribuição por faixas. Para projeto mais rigoroso usa-se distribuição granulométrica completa.
Passo 4
Calcular a perda de carga através de cada leito empacotado usando a equação de Ergun. Vou escrever a equação e explicar cada termo.
Equação de Ergun (perda de carga por unidade de comprimento):
\epsilon é a porosidade do leito (fração volumétrica de vazio),
\mu é a viscosidade dinâmica (\mathrm{Pa\cdot s}),
U é a velocidade superficial (\mathrm{m/s}),
d_p é o diâmetro médio do grão (\mathrm{m}),
\rho é a densidade do fluido (\mathrm{kg/m^3}).
Vou aplicar a Ergun a cada coluna (calculei U no Passo 2, d_p e \epsilon no Passo 1/3). Usarei g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} quando converter pressão para altura.
Breve comentário didático: para partículas tão pequenas e velocidades baixas, o termo viscoso (proporcional a \mu U/d_p^2) domina — isso é comum em leitos filtrantes.
Passo 5
Aplicar Ergun às colunas B e C (mesma metodologia do passo anterior). Valores conhecidos: U_B=U_C\approx 0{,}00702\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: note que perdas por leito empacotado podem ser a parcela dominante do sistema quando partículas são finas; é por isso que o projeto de bomba em sistemas de filtração costuma precisar de cabeças moderadas mesmo em pequenas vazões.
Passo 6
Calcular perdas na tubulação: atrito (Darcy–Weisbach) e perdas localizadas (válvula e joelhos).
Comentário didático: as escolhas de K e da rugosidade são hipóteses de projeto. Valores diferentes (válvula com K menor, cotovelos longos) alteram o resultado; sempre documentar as hipóteses.
Passo 7
Somar todas as contribuições de altura para obter a altura manométrica total necessária à bomba (sem margem de segurança ainda).
Perda por leitos (Passo 5): \;H_{\text{leitos}} \approx 8{,}12\\ \mathrm{m}.
Perda na tubulação (Passo 6): \;H_{\text{tubo}} \approx 2{,}81\\ \mathrm{m}.
Elevação geométrica entre 1 e 2: enunciado diz “praticamente nula”, então \;H_{\text{elevação}}\approx 0\\ \mathrm{m}.çã
Escolha de eficiência do conjunto bomba-motor: suponho eficiência global hidráulica da bomba \eta_{\text{bomba}} \approx 60\% (valor típico para bombas pequenas). Assim potência elétrica requerida:
Arredondando para um motor comercial, escolho um motor de potência nominal \boxed{0{,}5\\ \mathrm{kW}}. Recomendo considerar um motor de 0{,}75\\ \mathrm{kW} se quiser maior folga para partida, desalinhamento, eventual aumento de perdas por incrustação ou operação contínua.
Comentário didático: a eficiência da bomba varia com o ponto de operação (curva Q–H). No projeto final escolhe-se uma bomba cuja curva tenha o Ponto de Melhor Eficiência (BEP) próximo de Q=6\\ \mathrm{m^3/h} e H \approx 15\\ \mathrm{m}.
Passo 9
Resumo das hipóteses críticas que usei e efeitos caso mudem (importante para você justificar escolhas na prova):
Diâmetro interno do tubo: usado D_{\text{tubo}}=0{,}0409\\ \mathrm{m} (NPS 1{,}5" \#40). Se o tubo tiver ID diferente (por exemplo tubo de 2"), a velocidade e as perdas por atrito/locais mudam significativamente.
Rugosidade do aço: \epsilon_{\text{r}}=0{,}045\\ \mathrm{mm}. Tubos novos, galvanizados ou de inox têm rugosidades diferentes.
Coeficientes K: usei K_{\text{globo}}=10 e K_{\text{cot}}=0{,}3. Se a válvula for do tipo “borboleta” ou “válvula de retenção”, K muda.
Granulometria de A: converti malhas Tyler para aberturas médias com valores tabulados; outro critério de média dá d_{p,A} diferente e altera a perda do leito.
Margem de 30\% aplicada em H: parâmetro de projeto, pode ser maior ou menor conforme padrão da planta.
Se alguma dessas hipóteses for diferente no seu caso, a altura necessária e a potência mudarão; no relatório do projeto é obrigatório listar essas hipóteses (e eu as listei aqui).
Passo 10
Especificação final recomendada da bomba (síntese prática e direta para aquisição):
Altura manométrica de projeto: \boxed{H_{\text{req}} \approx 14{,}2\\ \mathrm{m}}. Para escolha comercial, adotar ponto de catálogo: \boxed{H=15\\ \mathrm{m}}.
Tipo de bomba: bomba centrífuga monobloco (ou close-coupled), estágio único, adequada para água limpa, material corpo em ferro fundido ou aço inox dependendo da qualidade requerida (se possível, eixo em aço inox e vedação mecânica), com curva hidráulica passando por Q=6\\ \mathrm{m^3/h} e H\approx 15\\ \mathrm{m}.
Potência do motor: potência calculada \approx 0{,}39\\ \mathrm{kW}. Recomendo motor comercial mínimo \boxed{0{,}5\\ \mathrm{kW}}; por segurança e vida útil, considerar \boxed{0{,}75\\ \mathrm{kW}} se houver incertezas de NPSH ou operação prolongada.
Rotação: motores padrão 2900\\ \mathrm{rpm} (2 polos) ou 1450\\ \mathrm{rpm} (4 polos) — escolha segundo disponibilidade e curva da bomba; prefira que o BEP da bomba coincida com Q=6\\ \mathrm{m^3/h}.
Observação operacional: verificar NPSH disponível na instalação (não fornecido no enunciado) e escolher bomba cuja NPSH requerido seja menor que o NPSH disponível; prever filtros e válvulas de isolamento para manutenção; prever manômetros antes e depois da bomba para monitoramento.