Utilize o teste da razão ou da raiz para determinar se as seguintes séries são convergentes:
sum n^1-3 n4^2 n

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty n^1-3n4^2n
e pede para testar a convergência usando o teste da raiz ou da razão. Aqui vamos usar o teste da raiz, que diz que, se
L = limntoinfty raiz[n]l|anr|
existe e L<1, então a série converge absolutamente.

Passo 2

Definimos
an = n^1-3n4^2n
Aplicando o teste da raiz, calculamos
raiz[n]|an| = raiz[n]n^1-3n4^2n = n^1-3nn4^2 = n^1/n - 316

Passo 3

Agora analisamos o comportamento para ntoinfty. Sabemos que
limntoinftyn^1/n = 1,
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n^1/n - 3 = n^1/n,n^-3 sim 1cdot 1n^3 =1n^3
Portanto
raiz[n]|an| = n^1/n - 316 sim 116,n^3 Longrightarrow limntoinftyraiz[n]|an| = 0

Passo 4

Como o limite L=0 satisfaz L<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty n^1-3n4^2n converge (na verdade, converge absolutamente).

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