Imagine como seria jogar beisebol num universo onde a constante de Planck fosse igual a 0,60 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~s}. Qual seria a incerteza na posição de uma bola de beisebol de 0,50 \mathrm{~kg} movendo-se a 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, com uma incerteza na velocidade igual a 1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ? Por que seria difícil pegar esta bola?

Passo 1

O enunciado coloca um universo em que a constante de Planck vale h = 0,60\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{s}. Temos uma bola de beisebol com massa m = 0,50\\ \mathrm{kg} movendo-se a v = 20\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} e com incerteza na velocidade \Delta v = 1,2\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}. Para encontrar a incerteza na posição \Delta x, vamos usar o princípio de incerteza de Heisenberg:
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2},
onde \hbar = \dfrac{h}{2\pi} e \Delta p é a incerteza no momento.

Passo 2

Calculamos a incerteza no momento linear \Delta p a partir de
\Delta p = m\,\Delta v.

Passo 3

Escrevemos a relação para \Delta x:
\Delta x \;\ge\;\frac{\hbar}{2\,\Delta p}, \quad\text{com}\quad \hbar = \frac{h}{2\pi}.

Passo 4

Substituindo valores:
\Delta p = 0,50\cdot1,2 = 0,60\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s},
\hbar = \frac{0,60}{2\pi}\approx0,0955\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{s},
\Delta x \ge \frac{0,0955}{2\cdot0,60}\approx0,0796\\ \mathrm{m}.

Passo 5

O resultado indica \Delta x\approx0,08\\ \mathrm{m}, ou seja, cerca de 8 cm. Como isso é da ordem do diâmetro de uma bola de beisebol, a sua posição ficaria extremamente imprecisa, tornando virtualmente impossível prever exatamente onde ela estará na hora de pegá-la.

Resposta

A incerteza na posição é de aproximadamente 0,08\\ \mathrm{m}. Seria difícil pegar a bola porque a sua localização ficaria incerta em torno de 8 cm, valor comparável ao seu próprio tamanho.

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