[Espectros Atômicos do Hidrogênio] Calcule o comprimento de onda e a frequência dos limites das séries de Lyman, Balmer e Paschen do átomo de hidrogênio. O comprimento de onda de uma certa linha da série de Balmer é 379,1 \mathrm{~nm}. A que transição corresponde a linha?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) calcular o comprimento de onda e a frequência dos limites das séries de Lyman ( n_f=1), Balmer ( n_f=2) e Paschen ( n_f=3) do átomo de hidrogênio; (ii) dada a linha da série de Balmer com \lambda=379,1\,\mathrm{nm}, determinar de qual nível quântico inicial ela provém. O conteúdo principal é o espectro atômico do hidrogênio e usaremos a fórmula de Rydberg e a relação \nu = c/\lambda.

Passo 2

A fórmula de Rydberg para o comprimento de onda de uma transição n_i\to n_f é
\frac{1}{\lambda} = R\Bigl(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\Bigr),
onde R=1{,}097\times10^{7}\,\mathrm{m^{-1}}. O limite de cada série corresponde a n_i\to\infty, logo
\frac{1}{\lambda_{\text{lim}}} = \frac{R}{n_f^2} \quad\text{e}\quad \nu_{\text{lim}} = \frac{c}{\lambda_{\text{lim}}},
com c=3,00\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.

Passo 3

Para Lyman ( n_f=1):
\lambda_{\text{Ly}} = \frac{1}{R} = \frac{1}{1{,}097\times10^{7}} = 9,113\times10^{-8}\,\mathrm{m} = 91,13\,\mathrm{nm},
\nu_{\text{Ly}} = \frac{3,00\times10^{8}}{9,113\times10^{-8}} = 3,29\times10^{15}\,\mathrm{Hz}.

Passo 4

Para Balmer ( n_f=2):
\lambda_{\text{Ba}} = \frac{4}{R} = \frac{4}{1{,}097\times10^{7}} = 3,645\times10^{-7}\,\mathrm{m} = 364,5\,\mathrm{nm},
\nu_{\text{Ba}} = \frac{3,00\times10^{8}}{3,645\times10^{-7}} = 8,23\times10^{14}\,\mathrm{Hz}.

Passo 5

Para Paschen ( n_f=3):
\lambda_{\text{Pa}} = \frac{9}{R} = \frac{9}{1{,}097\times10^{7}} = 8,203\times10^{-7}\,\mathrm{m} = 820,3\,\mathrm{nm},
\nu_{\text{Pa}} = \frac{3,00\times10^{8}}{8,203\times10^{-7}} = 3,66\times10^{14}\,\mathrm{Hz}.

Passo 6

Agora achamos n_i para a linha de Balmer com \lambda=379,1\,\mathrm{nm}. Pela fórmula de Rydberg,
\frac{1}{379,1\times10^{-9}} = 1{,}097\times10^{7}\bigl(\tfrac{1}{2^2}-\tfrac{1}{n_i^2}\bigr).
Calculando, obtemos \;n_i\approx10. Logo essa linha é a transição de n_i=10 para n_f=2.

Resposta

Lyman: \lambda_{\text{Ly}}=91,13\,\mathrm{nm}, \nu_{\text{Ly}}=3,29\times10^{15}\,\mathrm{Hz}
Balmer: \lambda_{\text{Ba}}=364,5\,\mathrm{nm}, \nu_{\text{Ba}}=8,23\times10^{14}\,\mathrm{Hz}
Paschen: \lambda_{\text{Pa}}=820,3\,\mathrm{nm}, \nu_{\text{Pa}}=3,66\times10^{14}\,\mathrm{Hz}
A linha de 379,1\,\mathrm{nm} corresponde à transição n_i=10\to n_f=2.

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