Q5: Uma bola de boliche de 5,5 \mathrm{~kg} movendo-se a 9 \mathrm{~m} / \mathrm{s} colide com um pino de boliche de 0,85 \mathrm{~kg}, que se desloca a um ângulo de 15,8^{\circ} em relação à direção inicial da bola, e com uma velocidade de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule a velocidade final (módulo e direção) da bola de boliche. A colisão é elástica?

Passo 1

O enunciado dá uma bola de boliche de massa m_1=5{,}5\\ \mathrm{kg} com velocidade inicial \;v_{1i}=9\\ \mathrm{m/s} colidindo com um pino de massa m_2=0{,}85\\ \mathrm{kg} inicialmente em repouso. Após a colisão, o pino sai com velocidade v_{2f}=15\\ \mathrm{m/s} num ângulo \theta=15{,}8^\circ em relação à direção inicial da bola. Precisamos achar a velocidade final \vec v_{1f} da bola (módulo e direção) usando conservação de momento linear, e depois verificar se a colisão é elástica comparando energias cinéticas.

Passo 2

Escrevemos conservação de momento nas componentes x (na direção inicial da bola) e y (ortogonal):
m_1\,v_{1i} \;=\; m_1\,v_{1f,x} \;+\; m_2\,v_{2f}\cos(\theta),
0 \;=\; m_1\,v_{1f,y} \;+\; m_2\,v_{2f}\sin(\theta).

Passo 3

Resolvendo para v_{1f,x} e v_{1f,y}:
v_{1f,x} =\frac{m_1\,v_{1i}-m_2\,v_{2f}\cos(\theta)}{m_1} =\frac{(5{,}5)(9)-(0{,}85)(15)\cos(15{,}8^\circ)}{5{,}5} \approx6{,}77\\ \mathrm{m/s},
v_{1f,y} =-\frac{m_2\,v_{2f}\sin(\theta)}{m_1} =-\frac{(0{,}85)(15)\sin(15{,}8^\circ)}{5{,}5} \approx-0{,}63\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calculamos o módulo e a direção de \vec v_{1f}:
|\vec v_{1f}| =\sqrt{v_{1f,x}^2+v_{1f,y}^2} \approx\sqrt{(6{,}77)^2+(-0{,}63)^2} \approx6{,}81\\ \mathrm{m/s},
\alpha=\arctan\!\bigl(\tfrac{v_{1f,y}}{v_{1f,x}}\bigr) \approx\arctan\!\bigl(-0{,}63/6{,}77\bigr) \approx-5{,}3^\circ
(em relação à direção inicial, desviando para baixo).

Passo 5

Verificamos a energia cinética inicial e final:
K_i=\tfrac12\,m_1\,v_{1i}^2 =\tfrac12(5{,}5)(9^2) =222{,}75\\ \mathrm{J},
K_f =\tfrac12\,m_1\,|\vec v_{1f}|^2 +\tfrac12\,m_2\,v_{2f}^2 \approx\tfrac12(5{,}5)(6{,}81^2)+\tfrac12(0{,}85)(15^2) \approx127{,}4+95{,}6 =223{,}0\\ \mathrm{J}.
Como K_f\approx K_i (diferença devido a arredondamentos), a colisão pode ser considerada elástica.

Resposta

O módulo da velocidade final da bola é aproximadamente 6{,}81\\ \mathrm{m/s} e sua direção forma um ângulo de 5{,}3^\circ para baixo em relação à direção inicial. A colisão é elástica.

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