Um espelho conjuga, de um objeto situado a 30 cm dele, uma imagem direita três vezes menor que o objeto. Determine: a) o tipo de espelho; b) sua distância focal c) a distância da imagem ao espelho.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre espelhos! A gente tem um objeto colocado a 30 cm de um espelho que forma uma imagem direita (ou seja, ereta) e três vezes menor que o objeto. Vamos precisar usar as fórmulas de espelho plano e entender conceitos de ampliação e distância focal para chegar nas respostas das três partes: tipo de espelho, distância focal e distância da imagem ao espelho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de espelho. Sabemos que espelhos podem ser côncavos ou convexos. A natureza da imagem nos dá uma dica importante:
  • Imagem direita e menor que o objeto geralmente indica um espelho convexo.
Isso porque espelhos convexos sempre formam imagens virtuais, direitas e menores que o objeto, independente da posição do objeto.

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância focal do espelho. Para isso, usamos a fórmula dos espelhos:
1f = 1p + 1q
Onde:
  • $ f $ é a distância focal,
  • $ p $ é a distância do objeto ao espelho,
  • $ q $ é a distância da imagem ao espelho.
Mas antes de usar essa fórmula, precisamos encontrar a distância da imagem, que é parte da próxima pergunta. Então, vamos primeiro encontrar a ampliação e daí achar $ q $.

Passo 4

A ampliação (A) está relacionada ao tamanho da imagem e à distância da imagem e do objeto:
A = hiho = -qp
Onde:
  • $ h_i $ é a altura da imagem,
  • $ h_o $ é a altura do objeto,
  • $ q $ é a distância da imagem,
  • $ p $ é a distância do objeto.
Aqui, a imagem é três vezes menor que o objeto, então $ \frac{h_i}{h_o} = \frac{1}{3} $. Além disso, como é uma imagem direita, $ A $ é positivo:
hi

Passo 5

Resolvendo para $ q $:
q
Então, a distância da imagem ao espelho é de 10 cm.

Passo 6

Agora que temos $ p = 30 cm $ e $ q = 10 cm $, podemos usar a fórmula dos espelhos para encontrar $ f $:
p = 30 cm
q = 10 cm

Resposta

a) O espelho é convexo.
b) A distância focal do espelho é de 7,5 cm.
c) A distância da imagem ao espelho é de 10 cm.

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