Um sistema oscilante bloco-mola possui as seguintes características: a energia mecânica total é de 1.50 J , a amplitude é de 12.0 cm e a velocidade máxima é de 1.50 m / s. Determine:
A constante elástica da mola.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício sobre um sistema oscilante bloco-mola. A gente tem dados como a energia mecânica total, a amplitude da oscilação e a velocidade máxima. Para encontrar a constante elástica da mola, vamos usar conceitos de energia no movimento oscilatório e as relações entre energia, amplitude e velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total $ E $ em um sistema oscilante bloco-mola é dada pela soma da energia cinética máxima e da energia potencial máxima. No ponto de máxima elongação (amplitude), toda a energia é potencial, e no ponto de equilíbrio, toda a energia é cinética.
A fórmula para a energia mecânica total é:
E
onde:
  • $ E $ é a energia mecânica total,
  • $ k $ é a constante elástica da mola,
  • $ A $ é a amplitude da oscilação.

Passo 3

Temos também a relação que envolve a velocidade máxima $ v_{máx} $:
vmáx á
onde $ \omega $ é a frequência angular, que é dada por:
vmáx = A omega
Mas como não temos a massa $ m $ do bloco, vamos utilizar outra relação que conecta energia e velocidade máxima.
Sabemos que a energia mecânica também pode ser expressa como:
omega á

Passo 4

Agora, temos duas expressões para a energia mecânica $ E $:
E
e
E = 12 k A^2 á
Podemos igualar as duas expressões:
E = 12 m vmáx^2 á
Simplificando os $ \frac{1}{2} $:
12 k A^2 = 12 m vmáx^2 á

Passo 5

Mas como queremos encontrar a constante elástica $ k $ e não temos a massa $ m $, vamos relacionar isso com a frequência angular $ \omega $. Sabemos que:
k á
E também:
m
Igualando as duas expressões de $ \omega $:
omega á
Elevando ao quadrado ambos os lados:
omega = vmáxA á
Ou seja:
omega = raizkm á

Passo 6

Rearranjando a equação para expressar $ m $:
m á
Agora, substituímos esse valor de $ m $ na equação $ k A^2 = m v_{máx}^2 $:
m = k A^2vmáx^2 áá
Simplificando:
m
Isso confirma que nossas relações estão corretas, mas precisamos de outra abordagem para encontrar $ k $ diretamente.

Passo 7

Vamos voltar à primeira expressão da energia:
E = 12 k A^2
Queremos isolar $ k $:
k

Resposta

Substituindo os valores fornecidos:
k = 2 times 1,50, J(0,12, m)^2 = 3,00, J0,0144, m^2 approx 208,3, N/m
Portanto, a constante elástica da mola é de aproximadamente $ 208{,}3, N/m $.

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