Um sistema oscilante bloco-mola possui as seguintes características: a energia mecânica total é de 1.50 J , a amplitude é de 12.0 cm e a velocidade máxima é de
. Determine:
A constante elástica da mola.
A constante elástica da mola.
Passo 1
Vamos resolver esse exercício sobre um sistema oscilante bloco-mola. A gente tem dados como a energia mecânica total, a amplitude da oscilação e a velocidade máxima. Para encontrar a constante elástica da mola, vamos usar conceitos de energia no movimento oscilatório e as relações entre energia, amplitude e velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total $ E $ em um sistema oscilante bloco-mola é dada pela soma da energia cinética máxima e da energia potencial máxima. No ponto de máxima elongação (amplitude), toda a energia é potencial, e no ponto de equilíbrio, toda a energia é cinética.
A fórmula para a energia mecânica total é:
onde:
- $ E $ é a energia mecânica total,
- $ k $ é a constante elástica da mola,
- $ A $ é a amplitude da oscilação.
Passo 3
Temos também a relação que envolve a velocidade máxima $ v_{máx} $:
onde $ \omega $ é a frequência angular, que é dada por:
Mas como não temos a massa $ m $ do bloco, vamos utilizar outra relação que conecta energia e velocidade máxima.
Sabemos que a energia mecânica também pode ser expressa como:
Passo 4
Agora, temos duas expressões para a energia mecânica $ E $:
e
Podemos igualar as duas expressões:
Simplificando os $ \frac{1}{2} $:
Passo 5
Mas como queremos encontrar a constante elástica $ k $ e não temos a massa $ m $, vamos relacionar isso com a frequência angular $ \omega $. Sabemos que:
E também:
Igualando as duas expressões de $ \omega $:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Ou seja:
Passo 6
Rearranjando a equação para expressar $ m $:
Agora, substituímos esse valor de $ m $ na equação $ k A^2 = m v_{máx}^2 $:
Simplificando:
Isso confirma que nossas relações estão corretas, mas precisamos de outra abordagem para encontrar $ k $ diretamente.
Passo 7
Vamos voltar à primeira expressão da energia:
Queremos isolar $ k $:
Resposta
Substituindo os valores fornecidos:
Portanto, a constante elástica da mola é de aproximadamente $ 208{,}3, N/m $.