Para um espelho convexo, mostre que a imagem formada pelo objeto é sempre virtual, em pé, menor e se localiza atrás do espelho.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, para um espelho convexo, que a imagem formada pelo objeto é sempre:
  • virtual;
  • em pé (isto é, não invertida);
  • menor (reduzida) que o objeto;
  • localizada atrás do espelho.
Informações relevantes dadas/assumidas (tudo que vou usar depois):
  • temos um espelho convexo e um objeto real colocado na frente do espelho (lado de onde vêm os raios).
  • vou usar a convenção de sinais usual para espelhos: a distância do objeto d_o é positiva quando o objeto está na frente do espelho (objeto real), a distância da imagem d_i é positiva se a imagem for real (formada na frente do espelho) e negativa se a imagem for virtual (formada atrás do espelho); o comprimento focal f é positivo para espelhos côncavos e negativo para espelhos convexos. Assim, para espelho convexo temos f<0.
  • a questão pede uma demonstração (não um exemplo numérico).

Passo 2

Apresento a fórmula central (equação dos espelhos) e explico o que cada símbolo significa:
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.
Aqui:
  • \,f é o comprimento focal do espelho (para espelho convexo \,f<0);
  • \,d_o é a distância do objeto ao vértice do espelho (para um objeto real na frente do espelho tomamos \,d_o>0);
  • \,d_i é a distância da imagem ao vértice do espelho (o sinal indica se a imagem é real ou virtual: \,d_i>0 real, \,d_i<0 virtual).
Agora isolamos \,d_i na equação para ver o sinal e o valor:
\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}=\frac{d_o-f}{f\,d_o},
portanto
d_i=\frac{f\,d_o}{d_o-f}.

Passo 3

Usando a expressão obtida, analisamos o sinal de \,d_i para o caso do espelho convexo. Como dito, para espelho convexo temos \,f<0 e, para um objeto real na frente do espelho, \,d_o>0. Note que o denominador
d_o-f=d_o- (f)
com f<0 vira d_o- (f)=d_o+|f|>0. O numerador f\,d_o é negativo (produto de f<0 por d_o>0). Logo \,d_i é negativo:
d_i=\frac{f\,d_o}{d_o-f}<0.
Conclusão desta etapa: \,d_i<0, ou seja, a imagem é virtual e fica atrás do espelho (pelo nosso critério de sinais, negativo significa atrás do espelho). Isso já responde parte do enunciado.

Passo 4

Agora vamos determinar se a imagem é em pé (não invertida) e menor. Para isso usamos a fórmula da ampliação (magnificação) para espelhos:
m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o},
onde:
  • m é a ampliação (relação entre altura da imagem h_i e altura do objeto h_o);
  • sinal de m: m>0 significa imagem em pé (direção igual ao objeto), m<0 significa imagem invertida;
  • |m|<1 significa imagem reduzida, |m|>1 significa ampliada.
Substituímos a expressão de \,d_i ou raciocinamos pelo sinal: já vimos que \,d_i<0 e \,d_o>0, então
m=-\frac{d_i}{d_o}=-\frac{(\text{negativo})}{(\text{positivo})}=(\text{positivo}).
Portanto m>0: a imagem é em pé (não invertida).
Para ver que é menor, calculemos o valor absoluto de m. Usando a expressão de \,d_i com f=-|f| (ou simplesmente manipulando a forma obtida):
d_i=\frac{f\,d_o}{d_o-f}=\frac{-|f|\,d_o}{d_o+|f|} \quad\Rightarrow\quad |d_i|=\frac{|f|\,d_o}{d_o+|f|}.
Logo
|m|=\frac{|d_i|}{d_o}=\frac{|f|}{d_o+|f|}.
Como d_o e |f| são positivos, o denominador d_o+|f| é maior que |f|, portanto
0<|m|=\frac{|f|}{d_o+|f|}<1.
Isso mostra que a imagem é reduzida (menor que o objeto).

Passo 5

Faço uma interpretação física com raios para consolidar a intuição (sem usar cálculo): num espelho convexo os raios paralelos ao eixo principal refletem como se viessem do foco virtual atrás do espelho; raios que vêm do objeto e atingem o espelho refletem divergindo. Essas linhas refletidas não se encontram na frente do espelho (logo não formam imagem real), mas se prolongadas para trás do espelho elas se encontram em um ponto virtual. Esse ponto de interseção posterior é a imagem: aparece atrás do espelho, é menor porque os raios parecem divergir de um ponto mais próximo do espelho do que o objeto real, e é em pé (porque a configuração dos raios mantém a direção vertical relativa do objeto).

Resposta

A imagem é virtual ( d_i<0 ), em pé (ampliação m>0 ), menor ( |m|<1 ) e localizada atrás do espelho (por d_i<0 ).

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