Um par de fendas estreitas e paralelas separadas por 0,250 \mathrm{~mm} é iluminado por luz verde ( \lambda=546,1 \mathrm{~nm} ). O padrão de interferência é observado em uma tela a 1,20 \mathrm{~m} de distância do plano das fendas paralelas. Calcule a distância do máximo central para a primeira região branca em ambos os lados do máximo central

Passo 1

O enunciado pede: calcular a distância do máximo central até a primeira região branca (primeira franja brilhante) em ambos os lados do máximo central, no padrão de interferência de um par de fendas. Informações fornecidas:
d=0,250\\ \mathrm{mm}=0,250\times10^{-3}\\ \mathrm{m}
\lambda=546,1\\ \mathrm{nm}=546,1\times10^{-9}\\ \mathrm{m}
L=1,20\\ \mathrm{m}
A pergunta quer a distância linear na tela (medida ao longo da direção perpendicular às fendas) entre o máximo central e a primeira franja brilhante de cada lado (ou seja, as posições correspondentes à ordem m=\pm1).

Passo 2

Regra básica para máximos de interferência de duas fendas: os máximos ocorrem quando a diferença de caminho entre as fendas satisfaz
d\sin\theta = m\lambda,
onde d é a separação entre as fendas, \theta é o ângulo medido a partir da normal ao plano das fendas até a direção do máximo, \lambda é o comprimento de onda da luz e m é a ordem do máximo ( m=0,\pm1,\pm2,\dots). Aqui a primeira franja brilhante corresponde a m=\pm1.

Passo 3

Relação entre a posição y do máximo na tela (distância do ponto central na perpendicular à tela) e o ângulo \theta:
y = L\tan\theta.
Para pequenos ângulos (caso típico quando L é muito maior que a separação entre fendas), podemos usar a aproximação \tan\theta\approx\sin\theta. Substituindo a condição de máximo obtemos a fórmula prática:
y_m \approx L\sin\theta = L\frac{m\lambda}{d}.
Aqui y_m é a distância do máximo central até o máximo de ordem m.

Passo 4

Verificação da validade da aproximação de pequeno ângulo: calculemos \sin\theta para m=1:
\sin\theta = \frac{\lambda}{d} = \frac{546,1\times10^{-9}}{0,250\times10^{-3}}.
Façamos a conta:
\frac{546,1\times10^{-9}}{0,250\times10^{-3}} = \frac{546,1}{0,250}\times10^{-6}=2184,4\times10^{-6}=2,1844\times10^{-3}.
Logo \sin\theta\approx2,1844\times10^{-3}, ou seja \theta\approx0,0021844\\ \mathrm{rad}\approx0,125^\circ, que é pequeno. Assim \tan\theta\approx\sin\theta com erro desprezível, e a fórmula y_m\approx L m\lambda/d é adequada.

Passo 5

Agora calculamos a posição da primeira franja brilhante ( m=1):
y_1 \approx L\frac{\lambda}{d}.
Substituindo os valores (todos em unidades do SI):
y_1 \approx 1,20\cdot\frac{546,1\times10^{-9}}{0,250\times10^{-3}}.
Já calculamos a razão \lambda/d = 2,1844\times10^{-3}. Então
y_1 \approx 1,20\cdot 2,1844\times10^{-3}=2,62128\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Convertendo para milímetros e arredondando para três algarismos significativos (suficiente para dados fornecidos):
y_1 \approx 2,62128\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=2,62128\\ \mathrm{mm}\approx2,62\\ \mathrm{mm}.
O valor é o mesmo para as duas primeiras franjas brilhantes (lado direito e lado esquerdo), pois o padrão é simétrico.

Resposta

Primeira franja brilhante (lado direito): 2,62\\ \mathrm{mm}
Primeira franja brilhante (lado esquerdo): 2,62\\ \mathrm{mm}

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