Os seguintes dados são para o ensaio de permeabilidade de carga variável:
  • Comprimento da amostra de solo =150 \mathrm{~mm}
  • Área da amostra de solo =1.964 \mathrm{~mm} 2
  • Área do piezômetro =25 \mathrm{~mm} 2
  • No tempo \mathrm{t}=0, diferença de carga =400 \mathrm{~mm}
  • No tempo \mathrm{t}=8 \mathrm{~min}, diferença de carga =200 \mathrm{~mm}
    a. Determine a condutividade hidráulica do solo ( \mathrm{cm} / \mathrm{s} ).
\begin{aligned} & L=150 \mathrm{~mm}=15 \mathrm{~cm} \\\ & A=1.96^{2} \mathrm{~mm}^{2}=19,64 \mathrm{~cm}^{2} \\\ & a=25 \mathrm{~mm}^{2}=0.25 \mathrm{~cm}^{2} \\\ & h_{1}=400 \mathrm{~mm}=40 \mathrm{~cm} \\\ & h_{2}=200 \mathrm{~mm}=20 \mathrm{~cm} \\\ & t=8 \mathrm{~min}=480 \mathrm{~s} \end{aligned}
\begin{aligned} & K=2.303 \frac{\mathrm{aL}}{\mathrm{At}} \log _{10}\left(\frac{h_{1}}{h_{2}}\right) \\\ & K=2.303 \times \frac{0.25 \mathrm{~cm}^{2} \times 15 \mathrm{~cm}}{19,64 \mathrm{~cm}^{2} \times 480 \mathrm{~s}} \times \log _{10}\left(\frac{40 \mathrm{~cm}}{20 \mathrm{~cm}}\right) \\\ & K=2.303 \times 3,978 \times 10^{-4} \mathrm{~cm}_{\mathrm{s}} \times 0,301=2,758 \times 10^{-4} \mathrm{~cm} / \mathrm{s} \end{aligned}
b. Qual foi a diferença de carga no tempo t=6 \mathrm{~min} ?
\begin{aligned} & t=\frac{a L}{A K} \log _{e} \frac{h_{1}}{h_{2}} \\\ & 360 \mathrm{~s}=\frac{0.25 \mathrm{~cm}^{2} \times 15 \mathrm{~cm}}{19.64 \mathrm{~cm}^{2} \times 2.758: 10 \mathrm{~cm}^{-4} / \mathrm{s}} \log _{e}\left(\frac{40 \mathrm{~cm}}{h_{2}}\right) \\\ & \log _{e}\left(\frac{40 \mathrm{~cm}}{h_{2}}\right)=\frac{360 \mathrm{~s}}{692.302 \mathrm{~s}}=0.52 \\\ & h_{2}=\frac{40 \mathrm{~cm}}{e^{0.52}}=23.78 \mathrm{~cm} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar a condutividade hidráulica do solo K em \mathrm{cm/s}.
  • (b) Determinar a diferença de carga (nível no piezômetro) no tempo t=6\\ \mathrm{min}.
Dados fornecidos (já convertidos para unidades coerentes):
\begin{aligned} & L=150\\ \mathrm{mm}=15\\ \mathrm{cm},\\[4pt] & A=1964\\ \mathrm{mm}^2=19{,}64\\ \mathrm{cm}^2,\\[4pt] & a=25\\ \mathrm{mm}^2=0{,}25\\ \mathrm{cm}^2,\\[4pt] & h_1=400\\ \mathrm{mm}=40\\ \mathrm{cm}\quad(\text{altura inicial}),\\[4pt] & h_2=200\\ \mathrm{mm}=20\\ \mathrm{cm}\quad(\text{altura aos }t=8\\ \mathrm{min}),\\[4pt] & t_{(8\\ \mathrm{min})}=8\\ \mathrm{min}=480\\ \mathrm{s},\\[4pt] & t_{(6\\ \mathrm{min})}=6\\ \mathrm{min}=360\\ \mathrm{s}. \end{aligned}]

Passo 2

Explicação teórica e derivação da fórmula (muito didática):
  • Em ensaio de carga decrescente (falling-head), o fluxo instantâneo através do solo, segundo Darcy, é proporcional ao gradiente hidráulico:
Q(t)=K\,A\,\frac{h(t)}{L},
onde:
  • Q(t) é a vazão instantânea (volume por tempo),
  • K é a condutividade hidráulica (o que queremos),
  • A é a área da amostra (seção do solo pelo qual a água escoa),
  • h(t) é a carga (diferença de nível) no piezômetro em tempo t,
  • L é o comprimento da amostra.
  • A variação do volume na coluna do piezômetro é relacionada à variação de h: a taxa de variação do volume é a\,\frac{dh}{dt} (área da coluna vezes variação de altura). Como o volume no piezômetro diminui quando há saída de água, temos:
-a\,\frac{dh}{dt}=Q(t).
  • Igualando as duas expressões:
-a\,\frac{dh}{dt}=K\,A\,\frac{h}{L}.
  • Separe variáveis e integre (passo a passo):
\frac{dh}{h}=-\frac{K\,A}{a\,L}\,dt.
Integrando de h_1 (em t=0) até h_2 (em t):
\int_{h_1}^{h_2}\frac{dh}{h}=-\frac{K\,A}{a\,L}\int_{0}^{t}dt
\ln\!\left(\frac{h_2}{h_1}\right)=-\frac{K\,A}{a\,L}\,t
ou
\ln\!\left(\frac{h_1}{h_2}\right)=\frac{K\,A}{a\,L}\,t.
  • Isolando K:
K=\frac{a\,L}{A\,t}\ln\!\left(\frac{h_1}{h_2}\right).
  • Para usar logaritmo decimal (fórmula frequentemente dada), lembra que \ln(x)=2{,}303\log_{10}(x), portanto
K=2{,}303\frac{a\,L}{A\,t}\log_{10}\!\left(\frac{h_1}{h_2}\right).

Passo 3

Cálculo numérico de K (substituindo os valores dados). Primeiro calculamos termos intermediários:
a\,L=0{,}25\cdot 15=3{,}75\\ \mathrm{cm}^3\\ (\text{unidade conveniente aqui}),
A\,t=19{,}64\cdot 480=9\,427{,}2\\ \mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{s}.
Agora a razão:
\frac{a\,L}{A\,t}=\frac{3{,}75}{9\,427{,}2}=3{,}9794\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}.
O logaritmo decimal:
\log_{10}\!\left(\frac{h_1}{h_2}\right)=\log_{10}\!\left(\frac{40}{20}\right)=\log_{10}(2)=0{,}30103.
Finalmente:
K=2{,}303\times 3{,}9794\times 10^{-4}\times 0{,}30103
K\approx 2{,}758\times 10^{-4}\\ \mathrm{cm/s}.
(Arredondei mantendo três algarismos significativos: K\approx 2{,}76\times10^{-4}\\ \mathrm{cm/s}.
Interpretação rápida (motivacional): esse valor de K é relativamente pequeno, típico de solos finos; está na ordem de 10^{-4}\\ \mathrm{cm/s}. Ótimo — já temos K para usar na parte (b).

Passo 4

Determinar a diferença de carga no tempo t=6\\ \mathrm{min}=360\\ \mathrm{s}.
  • Partimos da relação integrada:
\ln\!\left(\frac{h_1}{h(t)}\right)=\frac{K\,A}{a\,L}\,t.
  • Isolando h(t):
h(t)=h_1\exp\!\left(-\frac{K\,A}{a\,L}\,t\right).
  • Calcule o expoente usando K=2{,}758\times 10^{-4}\\ \mathrm{cm/s}:
K\,A\,t=2{,}758\times 10^{-4}\times 19{,}64\times 360.
Calculei passo a passo:
19{,}64\times 360=7\,070{,}4,
K\,A\,t=2{,}758\times 10^{-4}\times 7\,070{,}4\approx 1{,}950016.
Agora divida por a\,L=3{,}75:
\frac{K\,A\,t}{a\,L}=\frac{1{,}950016}{3{,}75}\approx 0{,}5200.
  • Portanto
h(360)=40\exp(-0{,}5200)\approx 40\times 0{,}5945\approx 23{,}78\\ \mathrm{cm}.
Em milímetros isso é 237{,}8\\ \mathrm{mm}.
Chegamos às respostas finais (valores arredondados de maneira adequada).

Resposta

(a) \displaystyle K=2{,}758\times 10^{-4}\\ \mathrm{cm/s}
(b) \displaystyle h(6\\ \mathrm{min})\approx 23{,}78\\ \mathrm{cm}

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