O espelho esférico convexo de um retrovisor de automóvel tem raio de curvatura de 80 cm . Esse espelho conjuga, para certo objeto sobre o seu eixo principal, imagem MA vezes menor. Nessas condições, a distância do objeto ao espelho, em metros, é de

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Raio de curvatura do espelho: R=80\\ \text{cm}.
  • É um espelho esférico convexo (retrovisor).
  • A imagem é M_A vezes menor que o objeto (ou seja, a imagem tem tamanho igual a \tfrac{1}{M_A} do objeto).
  • Pergunta: qual é a distância do objeto ao espelho, em metros?

Passo 2

Entender a relação entre raio e distância focal. Para um espelho esférico temos a relação
f=\frac{R}{2},
onde f é a distância focal e R é o raio de curvatura. Como o espelho é convexo, a sua distância focal é negativa segundo a convenção de sinais (o foco fica “atrás” do espelho). Portanto, numericamente:
f=-\frac{80\\ \text{cm}}{2}=-40\\ \text{cm}=-0,4\\ \text{m}.
Aqui eu já converti para metros porque a resposta pedida é em metros.

Passo 3

Apresentar as fórmulas fundamentais e explicar o que cada variável significa:
  • Equação dos espelhos (equação de Gauss):
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i},
onde d_o é a distância do objeto ao vértice do espelho (positiva se o objeto está na frente do espelho) e d_i é a distância da imagem ao vértice (positiva para imagens reais na frente do espelho, negativa para imagens virtuais atrás do espelho).
  • Definição de ampliação linear (magnificação):
m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o},
onde h_i e h_o são as alturas da imagem e do objeto. O sinal menos aparece porque, em espelhos, imagem invertida corresponde a sinal negativo de m. No nosso caso, o espelho convexo forma imagem virtual e direita, então m>0 e d_i<0.

Passo 4

Relacionar d_i e d_o usando a ampliação. Se a imagem tem fator de redução m=\dfrac{h_i}{h_o}, então
d_i=-m\,d_o.
Substituindo isso na equação dos espelhos:
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{-m d_o}=\frac{1}{d_o}\Bigl(1-\frac{1}{m}\Bigr).
Isolando d_o obtemos
d_o=\frac{f}{1-\dfrac{1}{m}}=\frac{fm}{m-1}.
Expliquei cada passo: substituí d_i, juntei termos com fator comum \dfrac{1}{d_o} e resolvi para d_o.

Passo 5

Agora usar a informação do enunciado: a imagem é M_A vezes menor que o objeto, ou seja
m=\frac{1}{M_A}.
Substituindo m=\dfrac{1}{M_A} na fórmula d_o=\dfrac{fm}{m-1}:
d_o=\frac{f\cdot\frac{1}{M_A}}{\frac{1}{M_A}-1} =\frac{\dfrac{f}{M_A}}{\dfrac{1-M_A}{M_A}} =\frac{f}{1-M_A}.
Fiz a redução de frações passo a passo para evitar erro.

Passo 6

Agora substituo o valor numérico de f que já tínhamos: f=-0,4\\ \text{m}. Assim
d_o=\frac{-0,4}{1-M_A}.
Multiplicando numerador e denominador por -1 para escrever de forma mais clara (e lembrando que para redução a imagem é menor, portanto M_A>1, o que garante resultado positivo),
d_o=\frac{0,4}{M_A-1}\\ \text{(metros)}.
Interpretação rápida: quanto maior M_A (mais reduzida a imagem), mais perto do espelho o objeto pode estar, conforme essa fórmula.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (opcional): se a imagem for M_A=4 vezes menor, então
d_o=\frac{0,4}{4-1}=\frac{0,4}{3}\approx0,133\\ \text{m}=13{,}3\\ \text{cm}.
Isso só para você ver que a fórmula produz um valor razoável.

Resposta

\displaystyle d_o=\frac{0,4}{M_A-1}\\ \text{m}

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