O espelho esférico convexo de um retrovisor de automóvel tem raio de curvatura de 80 cm . Esse espelho conjuga, para certo objeto sobre o seu eixo principal, imagem MA vezes menor. Nessas condições, a distância do objeto ao espelho, em metros, é de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- Raio de curvatura do espelho:
. - É um espelho esférico convexo (retrovisor).
- A imagem é
vezes menor que o objeto (ou seja, a imagem tem tamanho igual a do objeto). - Pergunta: qual é a distância do objeto ao espelho, em metros?
Passo 2
Entender a relação entre raio e distância focal. Para um espelho esférico temos a relação
onde
é a distância focal e
é o raio de curvatura. Como o espelho é convexo, a sua distância focal é negativa segundo a convenção de sinais (o foco fica “atrás” do espelho). Portanto, numericamente:
Aqui eu já converti para metros porque a resposta pedida é em metros.
Passo 3
Apresentar as fórmulas fundamentais e explicar o que cada variável significa:
- Equação dos espelhos (equação de Gauss):
onde
é a distância do objeto ao vértice do espelho (positiva se o objeto está na frente do espelho) e
é a distância da imagem ao vértice (positiva para imagens reais na frente do espelho, negativa para imagens virtuais atrás do espelho).
- Definição de ampliação linear (magnificação):
onde
e
são as alturas da imagem e do objeto. O sinal menos aparece porque, em espelhos, imagem invertida corresponde a sinal negativo de
. No nosso caso, o espelho convexo forma imagem virtual e direita, então
e
.
Passo 4
Relacionar
e
usando a ampliação. Se a imagem tem fator de redução
, então
Substituindo isso na equação dos espelhos:
Isolando
obtemos
Expliquei cada passo: substituí
, juntei termos com fator comum
e resolvi para
.
Passo 5
Agora usar a informação do enunciado: a imagem é
vezes menor que o objeto, ou seja
Substituindo
na fórmula
:
Fiz a redução de frações passo a passo para evitar erro.
Passo 6
Agora substituo o valor numérico de
que já tínhamos:
. Assim
Multiplicando numerador e denominador por
para escrever de forma mais clara (e lembrando que para redução a imagem é menor, portanto
, o que garante resultado positivo),
Interpretação rápida: quanto maior
(mais reduzida a imagem), mais perto do espelho o objeto pode estar, conforme essa fórmula.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar (opcional): se a imagem for
vezes menor, então
Isso só para você ver que a fórmula produz um valor razoável.