1. Dois capacitores de capacidades eletrostáticas \mathrm{C}_{1}=\underline{\mathbf{N C}} \mu \mathrm{F} e \mathrm{C}_{2}=\underline{\mathbf{D N}} \mu \mathrm{F} estão associados em série. Determine a capacitância do capacitor equivalente.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a capacitância do capacitor equivalente quando dois capacitores estão associados em série.
Informações fornecidas pelo enunciado:
\mathrm{C}_{1}=\underline{\mathbf{N C}}\\ \mu\mathrm{F} (valor dado no enunciado)
\mathrm{C}_{2}=\underline{\mathbf{D N}}\\ \mu\mathrm{F} (valor dado no enunciado)
A tarefa é calcular \mathrm{C}_{\text{eq}}, a capacitância equivalente dessa associação em série.

Passo 2

Vamos entender fisicamente o que acontece numa associação em série (aula rapidinha e amigável). Quando dois capacitores estão em série:
  • A carga elétrica Q armazenada em cada capacitor é a mesma (porque a mesma corrente que carregou o primeiro teve de passar para carregar o segundo). Ou seja, Q é igual para ambos.
  • As tensões (diferenças de potencial) nos capacitores somam para dar a tensão total aplicada ao conjunto.
A relação fundamental de um capacitor é a fórmula
Q = C\,V
onde:
  • Q é a carga (em coulombs),
  • C é a capacitância (em farads),
  • V é a tensão entre as placas (em volts).
Como a carga é a mesma em ambos os capacitores em série, escrevemos para cada um:
V_1 = \frac{Q}{C_1},\qquad V_2 = \frac{Q}{C_2}.
A tensão total V_{\text{total}} aplicada ao conjunto é
V_{\text{total}} = V_1 + V_2 = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2}.
Mas também, pensando no conjunto como um único capacitor equivalente \mathrm{C}_{\text{eq}}, temos
V_{\text{total}} = \frac{Q}{\mathrm{C}_{\text{eq}}}.
Igualando as duas expressões para V_{\text{total}} obtemos
\frac{Q}{\mathrm{C}_{\text{eq}}} = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2}.
Agora simplificamos dividindo por Q (assumindo Q\neq 0; se Q=0 todos são nulos e a fórmula vale trivialmente), resultando em
\frac{1}{\mathrm{C}_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}.
Essa é a fórmula padrão para capacitores em série. Legal, né? Agora vamos usar essa fórmula para calcular \mathrm{C}_{\text{eq}} explicitamente.

Passo 3

A partir de
\frac{1}{\mathrm{C}_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}
fazemos a soma das frações no lado direito:
\frac{1}{\mathrm{C}_{\text{eq}}} = \frac{C_2 + C_1}{C_1 C_2}.
Invertendo ambos os lados para isolar \mathrm{C}_{\text{eq}}
\mathrm{C}_{\text{eq}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}.
Agora substituímos os valores dados no enunciado: C_1=\underline{\mathbf{N C}}\\ \mu\mathrm{F} e C_2=\underline{\mathbf{D N}}\\ \mu\mathrm{F}. Substituindo diretamente na expressão:
\mathrm{C}_{\text{eq}} = \frac{\underline{\mathbf{N C}}\cdot\underline{\mathbf{D N}}}{\underline{\mathbf{N C}}+\underline{\mathbf{D N}}}\\ \mu\mathrm{F}.
Observação sobre unidades: como ambos C_1 e C_2 estão em \mu\mathrm{F} (microfarads), a expressão acima já dá a capacitância equivalente em \mu\mathrm{F} (porque a unidade fatorou e cancelou corretamente ao formar a razão).

Passo 4

Como dica prática para a prova: se você tiver números concretos no lugar de \underline{\mathbf{N C}} e \underline{\mathbf{D N}}, calcule o produto no numerador e a soma no denominador com contas à mão (multiplicar e somar inteiros ou decimais), depois faça a divisão. Exemplo rápido (só para treinar): se C_1=4\\ \mu\mathrm{F} e C_2=6\\ \mu\mathrm{F}, então
\mathrm{C}_{\text{eq}}=\frac{4\cdot6}{4+6}=\frac{24}{10}=2{,}4\\ \mu\mathrm{F}.
Sem mistério — multiplica, soma, divide. Se forem números inteiros pequenos, dá pra fazer na cabeça; se forem decimais, alinhe casa decimal e divida normalmente.

Resposta

\displaystyle \mathrm{C}_{\text{eq}}=\frac{\underline{\mathbf{N C}}\cdot\underline{\mathbf{D N}}}{\underline{\mathbf{N C}}+\underline{\mathbf{D N}}}\\ \mu\mathrm{F}

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