Um espelho plano tem uma altura de 50 cm e está pendurado verticalmente em uma parede. Uma pessoa está parada de frente para o espelho, a 1,5 \mathrm{~m} do mesmo, com os olhos no mesmo nível do limite superior do espelho (a 1,60 \mathrm{~m} de altura). Quanto do seu corpo a pessoa enxerga refletido?
\bigcirc 50 cm
\bigcirc 1 m
\bigcirc 1,5 \mathrm{~m}
\bigcirc 1,6 \mathrm{~m}
\bigcirc Todo o corpo (pouco maior de 1,60 \mathrm{~m} )

Passo 1

O enunciado pergunta quanto da pessoa ela consegue ver refletido no espelho. As informações dadas são:
  • altura do espelho: 0{,}50\\ \mathrm{m};
  • o espelho está pendurado verticalmente e o limite superior do espelho está ao nível dos olhos da pessoa, que estão a 1{,}60\\ \mathrm{m} do chão;
  • a pessoa está a 1{,}5\\ \mathrm{m} do espelho (distância até o plano do espelho).
    O que precisamos encontrar é a extensão vertical do corpo da pessoa visível no espelho (em metros).

Passo 2

Vamos colocar coordenadas e identificar as alturas relevantes:
  • chame a altura dos olhos de e. Temos e = 1{,}60\\ \mathrm{m}.
  • a altura do espelho é h_m = 0{,}50\\ \mathrm{m}. Como o limite superior do espelho está ao nível dos olhos, a base do espelho fica em
b = e - h_m = 1{,}60 - 0{,}50 = 1{,}10\\ \mathrm{m}.
Portanto o espelho cobre verticalmente o intervalo [b,e]=[1{,}10\\ \mathrm{m},\,1{,}60\\ \mathrm{m}].

Passo 3

Uso do método da imagem (explicando devagar):
  • Em espelhos planos podemos imaginar a imagem do ponto do corpo atrás do espelho à mesma distância do espelho que o ponto real. Se um ponto do corpo tem altura y e está a uma distância d do espelho, a sua imagem está à mesma distância atrás do espelho, também com altura y.
  • Um raio que vai do ponto imagem até os olhos intersecta o espelho num ponto intermediário; esse ponto de interseção é exatamente onde o raio real chegou ao espelho vindo do ponto do corpo. Para calcular a altura desse ponto de interseção usemos a parametrização da reta entre o olho e a imagem.
    Colocando o plano do espelho em x=0, a pessoa (olhos e pontos do corpo) está em x=-d e a imagem está em x=+d. A reta entre o olho (-d,e) e a imagem (+d,y) é parametrizada por
x(t) = -d + 2d\,t,\qquad z(t)=e+(y-e)t,\quad t\in[0,1].
No plano do espelho temos x=0. Isso corresponde a t=\tfrac{1}{2}. Substituindo t=\tfrac{1}{2} na coordenada vertical obtemos a altura do ponto do espelho onde o raio incide:
z_m = e + (y-e)\cdot \tfrac{1}{2} = \frac{e+y}{2}.
Ou seja: o raio que sai do ponto do corpo de altura y atinge o espelho na altura z_m=(e+y)/2.

Passo 4

Para que o ponto do corpo de altura y seja visível, o ponto de incidência z_m precisa ficar dentro do espelho: b \le z_m \le e. Substituindo z_m isso dá
b \le \frac{e+y}{2} \le e.
Resolvendo as desigualdades:
  • da esquerda: \frac{e+y}{2}\ge b \Rightarrow y \ge 2b - e;
  • da direita: \frac{e+y}{2}\le e \Rightarrow y \le e.
    Portanto os pontos visíveis têm alturas
y\in [\,2b-e,\; e\,].

Passo 5

Agora aplicamos os números:
2b - e = 2\cdot 1{,}10 - 1{,}60 = 2{,}20 - 1{,}60 = 0{,}60\\ \mathrm{m}.
Logo a pessoa consegue ver, do seu corpo, os pontos com alturas entre 0{,}60\\ \mathrm{m} e 1{,}60\\ \mathrm{m}. A extensão vertical visível é
e - (2b-e) = 2(e-b) = 2\cdot 0{,}50 = 1{,}00\\ \mathrm{m}.
Observação útil: esse resultado mostra por que um espelho plano mínimo para ver o corpo inteiro tem metade da altura da pessoa — a extensão visível é sempre o dobro da altura do espelho (independente da distância até o espelho), desde que o espelho esteja corretamente posicionado verticalmente.

Passo 6

Interpretação prática e incentivo: com o topo do espelho ao nível dos olhos a pessoa vê do ponto a 0{,}60\\ \mathrm{m} do chão até os olhos a 1{,}60\\ \mathrm{m}, portanto vê 1{,}00\\ \mathrm{m} do seu corpo — os 1{,}00\\ \mathrm{m} superiores. Isso não depende da distância 1{,}5\\ \mathrm{m} — mesmo se a pessoa se aproximar ou afastar (mantendo o topo do espelho no nível dos olhos) a extensão visível continua sendo o dobro da altura do espelho.

Resposta

1\\ \mathrm{m}

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