Um espelho plano tem uma altura de 50 cm e está pendurado verticalmente em uma parede. Uma pessoa está parada de frente para o espelho, a
do mesmo, com os olhos no mesmo nível do limite superior do espelho (a
de altura). Quanto do seu corpo a pessoa enxerga refletido?
50 cm
1 m
Todo o corpo (pouco maior de
)
Passo 1
O enunciado pergunta quanto da pessoa ela consegue ver refletido no espelho. As informações dadas são:
- altura do espelho:
; - o espelho está pendurado verticalmente e o limite superior do espelho está ao nível dos olhos da pessoa, que estão a
do chão; - a pessoa está a
do espelho (distância até o plano do espelho).
O que precisamos encontrar é a extensão vertical do corpo da pessoa visível no espelho (em metros).
Passo 2
Vamos colocar coordenadas e identificar as alturas relevantes:
- chame a altura dos olhos de
. Temos . - a altura do espelho é
. Como o limite superior do espelho está ao nível dos olhos, a base do espelho fica em
Portanto o espelho cobre verticalmente o intervalo
.
Passo 3
Uso do método da imagem (explicando devagar):
- Em espelhos planos podemos imaginar a imagem do ponto do corpo atrás do espelho à mesma distância do espelho que o ponto real. Se um ponto do corpo tem altura
e está a uma distância do espelho, a sua imagem está à mesma distância atrás do espelho, também com altura . - Um raio que vai do ponto imagem até os olhos intersecta o espelho num ponto intermediário; esse ponto de interseção é exatamente onde o raio real chegou ao espelho vindo do ponto do corpo. Para calcular a altura desse ponto de interseção usemos a parametrização da reta entre o olho e a imagem.
Colocando o plano do espelho em, a pessoa (olhos e pontos do corpo) está em e a imagem está em . A reta entre o olho e a imagem é parametrizada por
No plano do espelho temos
. Isso corresponde a
. Substituindo
na coordenada vertical obtemos a altura do ponto do espelho onde o raio incide:
Ou seja: o raio que sai do ponto do corpo de altura
atinge o espelho na altura
.
Passo 4
Para que o ponto do corpo de altura
seja visível, o ponto de incidência
precisa ficar dentro do espelho:
. Substituindo
isso dá
Resolvendo as desigualdades:
- da esquerda:
; - da direita:
.
Portanto os pontos visíveis têm alturas
Passo 5
Agora aplicamos os números:
Logo a pessoa consegue ver, do seu corpo, os pontos com alturas entre
e
. A extensão vertical visível é
Observação útil: esse resultado mostra por que um espelho plano mínimo para ver o corpo inteiro tem metade da altura da pessoa — a extensão visível é sempre o dobro da altura do espelho (independente da distância até o espelho), desde que o espelho esteja corretamente posicionado verticalmente.
Passo 6
Interpretação prática e incentivo: com o topo do espelho ao nível dos olhos a pessoa vê do ponto a
do chão até os olhos a
, portanto vê
do seu corpo — os
superiores. Isso não depende da distância
— mesmo se a pessoa se aproximar ou afastar (mantendo o topo do espelho no nível dos olhos) a extensão visível continua sendo o dobro da altura do espelho.