Um poste vertical, com 4 m de altura, está sobre uma superfície horizontal. No instante em que o Sol está
acima da linha do horizonte, o tamanho da sombra do poste será de:
2 m
4 m
Passo 1
O enunciado dá um poste vertical com altura
sobre uma superfície horizontal. No instante considerado, o Sol forma um ângulo de elevação de
acima da linha do horizonte. A pergunta é: qual é o comprimento da sombra do poste sobre o chão?
Informações relevantes fornecidas:
— altura do poste (distância vertical do topo ao chão).
— ângulo de elevação do Sol em relação ao horizonte.
O que se pede: comprimento da sombra (distância horizontal entre a base do poste e o ponto onde a ponta da sombra atinge o chão).
O que se pede: comprimento da sombra (distância horizontal entre a base do poste e o ponto onde a ponta da sombra atinge o chão).
Passo 2
Modelo geométrico e variáveis: ao desenhar o poste e sua sombra obtemos um triângulo retângulo. Nesse triângulo:
- a altura do poste é o cateto oposto ao ângulo de elevação; vou chamar essa altura de
. Aqui . - o comprimento da sombra é o cateto adjacente ao ângulo de elevação; vou chamar esse comprimento de
. - o ângulo entre o chão horizontal e a linha que vai do chão até o Sol (retenho no triângulo como o ângulo formado pela hipotenusa com o chão) é
.
Ou seja, temos um triângulo retângulo com cateto oposto
e cateto adjacente
, e o ângulo
está na base junto ao chão.
Passo 3
Fórmula-chave (aula rapidinha sobre tangente): em um triângulo retângulo, a função tangente do ângulo é definida como a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Em símbolos:
Aqui
é o ângulo de elevação (
),
é a altura do poste e
é o comprimento da sombra. Essa fórmula vem da definição trigonométrica para triângulos retângulos — nada de mistério: “tan = opp / adj”.
Queremos
, então isolamos
na fórmula:
Passo 4
Aplicando aos valores do problema: substituímos
e
:
Agora precisamos do valor de
. Usando o triângulo especial
: considere um triângulo retângulo formado ao cortar um triângulo equilátero de lado
ao meio; o cateto oposto a
vale
e o cateto adjacente vale
. Assim
Passo 5
Continuando os cálculos com esse valor:
Se preferir um valor numérico aproximado, use
:
Comentário rápido sobre as alternativas: a opção
corresponde exatamente ao que derivamos. As demais estão incorretas porque confundem catetos e hipotenusa (por exemplo dividir por
daria a hipotenusa) ou aplicam multiplicação por
quando a relação correta para o cateto adjacente é divisão por
.