Um poste vertical, com 4 m de altura, está sobre uma superfície horizontal. No instante em que o Sol está 30^{\circ} acima da linha do horizonte, o tamanho da sombra do poste será de:
\bigcirc 2 m
\bigcirc 4 m
\bigcirc 4 \mathrm{~m} / \mathrm{sen}\left(30^{\circ}\right)
\bigcirc 4 m \cdot \tan \left(30^{\circ}\right)
\bigcirc 4 \mathrm{~m} / \tan \left(30^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado dá um poste vertical com altura \,4\\ \mathrm{m}\, sobre uma superfície horizontal. No instante considerado, o Sol forma um ângulo de elevação de \,30^\circ\, acima da linha do horizonte. A pergunta é: qual é o comprimento da sombra do poste sobre o chão?
Informações relevantes fornecidas:
\,4\\ \mathrm{m}\, — altura do poste (distância vertical do topo ao chão).
\,30^\circ — ângulo de elevação do Sol em relação ao horizonte.
O que se pede: comprimento da sombra (distância horizontal entre a base do poste e o ponto onde a ponta da sombra atinge o chão).

Passo 2

Modelo geométrico e variáveis: ao desenhar o poste e sua sombra obtemos um triângulo retângulo. Nesse triângulo:
  • a altura do poste é o cateto oposto ao ângulo de elevação; vou chamar essa altura de \,h. Aqui \,h=4\\ \mathrm{m}\,.
  • o comprimento da sombra é o cateto adjacente ao ângulo de elevação; vou chamar esse comprimento de \,s.
  • o ângulo entre o chão horizontal e a linha que vai do chão até o Sol (retenho no triângulo como o ângulo formado pela hipotenusa com o chão) é \,\theta=30^\circ.
Ou seja, temos um triângulo retângulo com cateto oposto \,h e cateto adjacente \,s, e o ângulo \,\theta=30^\circ está na base junto ao chão.

Passo 3

Fórmula-chave (aula rapidinha sobre tangente): em um triângulo retângulo, a função tangente do ângulo é definida como a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Em símbolos:
\tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{h}{s}.
Aqui \theta é o ângulo de elevação ( 30^\circ), h é a altura do poste e s é o comprimento da sombra. Essa fórmula vem da definição trigonométrica para triângulos retângulos — nada de mistério: “tan = opp / adj”.
Queremos s, então isolamos s na fórmula:
s=\frac{h}{\tan(\theta)}.

Passo 4

Aplicando aos valores do problema: substituímos h=4\\ \mathrm{m} e \theta=30^\circ:
s=\frac{4\\ \mathrm{m}}{\tan(30^\circ)}.
Agora precisamos do valor de \tan(30^\circ). Usando o triângulo especial 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ: considere um triângulo retângulo formado ao cortar um triângulo equilátero de lado 2 ao meio; o cateto oposto a 30^\circ vale 1 e o cateto adjacente vale \sqrt{3}. Assim
\tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Continuando os cálculos com esse valor:
s=\frac{4\\ \mathrm{m}}{1/\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.
Se preferir um valor numérico aproximado, use \sqrt{3}\approx1,732:
s\approx4\times1,732=6,928\\ \mathrm{m}\\ (\text{aprox.}).
Comentário rápido sobre as alternativas: a opção \,4\\ \mathrm{m}/\tan(30^\circ)\, corresponde exatamente ao que derivamos. As demais estão incorretas porque confundem catetos e hipotenusa (por exemplo dividir por \sin daria a hipotenusa) ou aplicam multiplicação por \tan quando a relação correta para o cateto adjacente é divisão por \tan.

Resposta

\displaystyle \frac{4\\ \mathrm{m}}{\tan(30^\circ)}

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