Seja z=\ln \left(x^{2}-y^{2}\right). Determine e esboce:
a) a curva de nível k que passa pelo ponto (1,0);
b) as curvas de nível k, considerando k=1 e k=-1.

Passo 1

O enunciado dá a função \;z=\ln\!\big(x^{2}-y^{2}\big)\; e pede duas coisas:
  1. (a) A curva de nível k que passa pelo ponto (1,0).
  2. (b) As curvas de nível correspondentes a k=1 e a k=-1.
Informações relevantes fornecidas:
\;z=\ln\!\big(x^{2}-y^{2}\big)\; (definição da função).
O ponto dado é (1,0).
Os valores de k pedidos são \;k=1\; e \;k=-1\;.
Observação importante: a função envolve \ln, logo o argumento deve ser positivo: \;x^{2}-y^{2}>0\;.

Passo 2

O que é uma curva de nível e como achá‑la:
  • Para uma função de duas variáveis z=f(x,y), a curva de nível de valor \;k\; é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem \;f(x,y)=k\;.
  • Aqui temos \;f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}-y^{2}\big). Igualando a uma constante \;k obtemos:
\ln\!\big(x^{2}-y^{2}\big)=k.
  • Aplicando a exponencial aos dois lados (função inversa do logaritmo), obtemos a equação equivalente
x^{2}-y^{2}=e^{k}.
  • Essa equação é uma família de hipérboles centradas na origem (quando e^{k}>0), com assíntotas \;y=\pm x\;. Além disso, pela restrição do logaritmo, precisamos sempre de
x^{2}-y^{2}>0,
ou seja, somente os pontos onde \;x^{2}>y^{2}\; (fora do cone formado por |y|=|x|) são admissíveis.

Passo 3

Resolvendo (a): achar k para a curva que passa por (1,0).
  • Substituo (x,y)=(1,0) em \;z=\ln\!\big(x^{2}-y^{2}\big):
z=\ln\!\big(1^{2}-0^{2}\big)=\ln(1)=0.
  • Logo o valor de nível que passa por (1,0) é \;k=0\;.
  • A equação da curva de nível correspondente é, pela fórmula anterior,
x^{2}-y^{2}=e^{0}=1.

Passo 4

Interpretação geométrica e como esboçar a curva de (a).
  • A equação \;x^{2}-y^{2}=1\; é a forma padrão da hipérbole com eixo transverso ao longo do eixo x. Podemos escrever em forma canônica:
\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{1}=1.
  • Parâmetros e pontos úteis:
    • Vértices: (\pm 1,0).
    • Assíntotas: \;y=\pm x\;.
    • Para traçar: resolver y=\pm\sqrt{x^{2}-1}, com domínio |x|\ge 1.
    • Exemplos de pontos: para x=\sqrt{2} tem y=\pm 1; para x=2 tem y=\pm\sqrt{3}.
  • Instrução de esboço: desenhe as linhas y=\pm x como guias; marque os vértices (-1,0) e (1,0) e desenhe dois ramos da hipérbole abrindo para a direita e para a esquerda, ficando sempre entre as assíntotas.

Passo 5

Resolvendo (b): k=1.
  • Usando a relação geral \;x^{2}-y^{2}=e^{k}\;, para \;k=1 temos
x^{2}-y^{2}=e.
  • Forma canônica:
\frac{x^{2}}{e}-\frac{y^{2}}{e}=1.
  • Parâmetros e pontos úteis:
    • Vértices: \big(\pm\sqrt{e},\,0\big).
    • Assíntotas: \;y=\pm x\; (mesmas de antes).
    • Resolvendo para y: y=\pm\sqrt{x^{2}-e}, domínio |x|\ge \sqrt{e}.
    • Exemplo: escolher x=\sqrt{e+1} y=\pm 1, logo \big(\pm\sqrt{e+1},\pm1\big) são pontos na curva (combinações de sinais compatíveis).
  • Observação numérica rápida (apenas para facilitar o esboço): e\approx 2,718, então \sqrt{e}\approx 1,649. Assim os vértices ficam perto de x=\pm1,65.

Passo 6

Resolvendo (b): k=-1.
  • Para \;k=-1 a equação é
x^{2}-y^{2}=e^{-1}=\frac{1}{e}.
  • Forma canônica:
\frac{x^{2}}{1/e}-\frac{y^{2}}{1/e}=1,
ou mais diretamente
\frac{x^{2}}{1/e}-\frac{y^{2}}{1/e}=1.
  • Parâmetros e pontos úteis:
    • Vértices: \big(\pm\sqrt{1/e},\,0\big)=\big(\pm 1/\sqrt{e},\,0\big).
    • Assíntotas: \;y=\pm x\;.
    • Resolvendo para y: y=\pm\sqrt{x^{2}-1/e}, domínio |x|\ge 1/\sqrt{e}.
    • Observação numérica: 1/\sqrt{e}\approx 0,607, então esses vértices estão mais próximos da origem do que os da curva k=0.
  • Exemplo de ponto: tomar x=\sqrt{1/e+1} y=\pm1.

Passo 7

Comparações e dicas de esboço conjunto:
  • Todas as curvas de nível são hipérboles do tipo \;x^{2}-y^{2}=e^{k}\;, centradas na origem com assíntotas \;y=\pm x.
  • À medida que k cresce, e^{k} cresce e a hipérbole “afasta‑se” da origem (vértices com |x| maiores). Para k>0 a hipérbole tem vértices mais distantes; para k<0 os vértices ficam mais próximos da origem.
  • Não há interseção com o eixo y porque para x=0 a equação exigiria -y^{2}=e^{k}, impossível. Sempre os ramos estão em regiões |x|>|y|.

Resposta

(a) k=0 e a curva é x^{2}-y^{2}=1.\n(b) Para k=1: x^{2}-y^{2}=e (vértices \big(\pm\sqrt{e},0\big)).\n(b) Para k=-1: x^{2}-y^{2}=e^{-1} (vértices \big(\pm 1/\sqrt{e},0\big)).

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