Seja
. Determine e esboce:
a) a curva de nível
que passa pelo ponto
;
b) as curvas de nível
, considerando
e
.
a) a curva de nível
b) as curvas de nível
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) A curva de nível
que passa pelo ponto . - (b) As curvas de nível correspondentes a
e a .
Informações relevantes fornecidas:
(definição da função).
O ponto dado é .
Os valores de pedidos são
e
.
Observação importante: a função envolve , logo o argumento deve ser positivo:
O ponto dado é
Os valores de
Observação importante: a função envolve
Passo 2
O que é uma curva de nível e como achá‑la:
- Para uma função de duas variáveis
, a curva de nível de valor é o conjunto de pontos que satisfazem . - Aqui temos
. Igualando a uma constante obtemos:
- Aplicando a exponencial aos dois lados (função inversa do logaritmo), obtemos a equação equivalente
- Essa equação é uma família de hipérboles centradas na origem (quando
), com assíntotas . Além disso, pela restrição do logaritmo, precisamos sempre de
ou seja, somente os pontos onde
(fora do cone formado por
) são admissíveis.
Passo 3
Resolvendo (a): achar
para a curva que passa por
.
- Substituo
em :
- Logo o valor de nível que passa por
é . - A equação da curva de nível correspondente é, pela fórmula anterior,
Passo 4
Interpretação geométrica e como esboçar a curva de (a).
- A equação
é a forma padrão da hipérbole com eixo transverso ao longo do eixo . Podemos escrever em forma canônica:
- Parâmetros e pontos úteis:
- Vértices:
. - Assíntotas:
. - Para traçar: resolver
, com domínio . - Exemplos de pontos: para
tem ; para tem .
- Vértices:
- Instrução de esboço: desenhe as linhas
como guias; marque os vértices e e desenhe dois ramos da hipérbole abrindo para a direita e para a esquerda, ficando sempre entre as assíntotas.
Passo 5
Resolvendo (b):
.
- Usando a relação geral
, para temos
- Forma canônica:
- Parâmetros e pontos úteis:
- Vértices:
. - Assíntotas:
(mesmas de antes). - Resolvendo para
: , domínio . - Exemplo: escolher
dá , logo são pontos na curva (combinações de sinais compatíveis).
- Vértices:
- Observação numérica rápida (apenas para facilitar o esboço):
, então . Assim os vértices ficam perto de .
Passo 6
Resolvendo (b):
.
- Para
a equação é
- Forma canônica:
ou mais diretamente
- Parâmetros e pontos úteis:
- Vértices:
. - Assíntotas:
. - Resolvendo para
: , domínio . - Observação numérica:
, então esses vértices estão mais próximos da origem do que os da curva .
- Vértices:
- Exemplo de ponto: tomar
dá .
Passo 7
Comparações e dicas de esboço conjunto:
- Todas as curvas de nível são hipérboles do tipo
, centradas na origem com assíntotas . - À medida que
cresce, cresce e a hipérbole “afasta‑se” da origem (vértices com maiores). Para a hipérbole tem vértices mais distantes; para os vértices ficam mais próximos da origem. - Não há interseção com o eixo
porque para a equação exigiria , impossível. Sempre os ramos estão em regiões .
Resposta
(a)
e a curva é
.\n(b) Para
:
(vértices
).\n(b) Para
:
(vértices
).