Quando a empresa “Pastéis S.A.” admite candidatos em sua rede, em geral, eles passam por horas de treinamento antes de entrarem em serviço. Alguns dos empregados que passaram por treinamento foram estudados, analisando-se a relação entre a quantidade de pastéis produzidos (
) por hora e a quantidade de horas de treinamento à qual os funcionários foram submetidos (
), a empresa obteve:
2
6
8
8
12
16
20
20
22
26
58
105
88
118
117
137
157
169
149
202
a) Obter a equação da regressão linear simples, interpretando os coeficientes da mesma;
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2 | 6 | 8 | 8 | 12 | 16 | 20 | 20 | 22 | 26 |
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58 | 105 | 88 | 118 | 117 | 137 | 157 | 169 | 149 | 202 |
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra de tamanho
com observações das variáveis
(horas de treinamento) e
(quantidade de pastéis por hora) e pede duas coisas: (1) obter a equação da regressão linear simples e (2) interpretar os coeficientes dessa regressão. Os dados fornecidos são (peguei-os da tabela do enunciado):
Vou calcular passo a passo a reta de regressão linear
, explicando cada fórmula e como aplicar na prova.
Passo 2
O que é a regressão linear simples (aula rápida): queremos uma reta
que estime o valor esperado de
dado
. Os coeficientes são:
onde
Explicando:
e
são as médias amostrais;
mede a covariância (produto dos desvios) e
mede a variabilidade de
. A razão dá a inclinação que melhor ajusta
por mínimos quadrados.
Passo 3
Calculo do tamanho da amostra e das somas básicas. Temos
. Vou calcular
,
,
e
.
Soma das
:
Soma das
:
Soma dos quadrados de
:
(Se quiser conferir:
.)
Soma dos produtos
: calculei termo a termo:
(Valores parciais:
que somam
.)
Passo 4
Calculo das médias
e
:
Passo 5
Calculo de
usando a fórmula com somas:
Interpretação rápida:
é a soma dos quadrados dos desvios de
; aqui é
.
Passo 6
Calculo de
usando a soma dos produtos:
Interpretação:
é a soma dos produtos dos desvios; aqui é
.
Passo 7
Agora a inclinação
:
Faço a divisão:
, logo
Interpretação numérica simples: para cada hora a mais de treinamento, a produção média aumenta em
pastéis por hora (explicação completa na interpretação final).
Passo 8
Cálculo do intercepto
:
Interpretação numérica: valor estimado de
quando
é
pastéis/hora (comentário sobre extrapolação abaixo).
Passo 9
Escrevo a equação da regressão e explico os coeficientes de forma prática e com aviso de prova:
A reta estimada é
A reta estimada é
Interpretação didática e como responder na prova:
- Coeficiente angular
: significa que, segundo o ajuste linear pelos mínimos quadrados, o acréscimo de uma hora de treinamento está associado a um aumento médio de pastéis por hora na produção. Na prova, diga algo como: “A cada hora adicional de treinamento, espera-se que a produção aumente em pastéis/hora, em média.” - Intercepto
: é a previsão de quando ; ou seja, um empregado sem treinamento teria previsão de produzir pastéis/hora. Sempre acrescente o aviso (importante em prova): isso é uma extrapolação se não houver observações próximas de ; portanto comente que a interpretação do intercepto só é sensata se fizer sentido no contexto ou se for uma interpolação dentro da faixa dos dados.
Resposta
Intercepto:
Coeficiente angular: