Quando a empresa “Pastéis S.A.” admite candidatos em sua rede, em geral, eles passam por horas de treinamento antes de entrarem em serviço. Alguns dos empregados que passaram por treinamento foram estudados, analisando-se a relação entre a quantidade de pastéis produzidos ( Y ) por hora e a quantidade de horas de treinamento à qual os funcionários foram submetidos ( X ), a empresa obteve:
X 2 6 8 8 12 16 20 20 22 26
Y 58 105 88 118 117 137 157 169 149 202
a) Obter a equação da regressão linear simples, interpretando os coeficientes da mesma;

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de tamanho n com observações das variáveis X (horas de treinamento) e Y (quantidade de pastéis por hora) e pede duas coisas: (1) obter a equação da regressão linear simples e (2) interpretar os coeficientes dessa regressão. Os dados fornecidos são (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{cccccccccc} X: & 2 & 6 & 8 & 8 & 12 & 16 & 20 & 20 & 22 & 26 \\\ Y: & 58 & 105 & 88 & 118 & 117 & 137 & 157 & 169 & 149 & 202 \end{array}
Vou calcular passo a passo a reta de regressão linear \hat{Y} = \beta_0 + \beta_1 X, explicando cada fórmula e como aplicar na prova.

Passo 2

O que é a regressão linear simples (aula rápida): queremos uma reta \hat{Y}=\beta_0+\beta_1 X que estime o valor esperado de Y dado X. Os coeficientes são:
\beta_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad \beta_0 = \bar{Y} - \beta_1 \bar{X},
onde
S_{xy} = \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}) = \sum_{i=1}^n X_iY_i - n\bar{X}\bar{Y},
S_{xx} = \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\bar{X}^2.
Explicando: \bar{X} e \bar{Y} são as médias amostrais; S_{xy} mede a covariância (produto dos desvios) e S_{xx} mede a variabilidade de X. A razão dá a inclinação que melhor ajusta Y por mínimos quadrados.

Passo 3

Calculo do tamanho da amostra e das somas básicas. Temos n=10. Vou calcular \sum X, \sum Y, \sum X^2 e \sum XY.
Soma das X:
\sum X = 2+6+8+8+12+16+20+20+22+26 = 140.
Soma das Y:
\sum Y = 58+105+88+118+117+137+157+169+149+202 = 1300.
Soma dos quadrados de X:
\sum X^2 = 2^2+6^2+8^2+8^2+12^2+16^2+20^2+20^2+22^2+26^2 = 2528.
(Se quiser conferir: 4+36+64+64+144+256+400+400+484+676=2528.)
Soma dos produtos XY: calculei termo a termo:
\sum XY = 2\cdot58 + 6\cdot105 + 8\cdot88 + 8\cdot118 + 12\cdot117 + 16\cdot137 + 20\cdot157 + 20\cdot169 + 22\cdot149 + 26\cdot202 = 21040.
(Valores parciais: 116,630,704,944,1404,2192,3140,3380,3278,5252 que somam 21040.)

Passo 4

Calculo das médias \bar{X} e \bar{Y}:
\bar{X}=\frac{\sum X}{n}=\frac{140}{10}=14, \qquad \bar{Y}=\frac{\sum Y}{n}=\frac{1300}{10}=130.

Passo 5

Calculo de S_{xx} usando a fórmula com somas:
S_{xx}=\sum X^2 - n\bar{X}^2 = 2528 - 10\cdot 14^2 = 2528 - 10\cdot196 = 2528 - 1960 = 568.
Interpretação rápida: S_{xx} é a soma dos quadrados dos desvios de X; aqui é 568.

Passo 6

Calculo de S_{xy} usando a soma dos produtos:
S_{xy}=\sum XY - n\bar{X}\bar{Y} = 21040 - 10\cdot 14\cdot130 = 21040 - 10\cdot1820 = 21040 - 18200 = 2840.
Interpretação: S_{xy} é a soma dos produtos dos desvios; aqui é 2840.

Passo 7

Agora a inclinação \beta_1:
\beta_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{2840}{568}.
Faço a divisão: 568\times 5 = 2840, logo
\beta_1 = 5.
Interpretação numérica simples: para cada hora a mais de treinamento, a produção média aumenta em 5 pastéis por hora (explicação completa na interpretação final).

Passo 8

Cálculo do intercepto \beta_0:
\beta_0=\bar{Y}-\beta_1\bar{X}=130 - 5\cdot 14 = 130 - 70 = 60.
Interpretação numérica: valor estimado de Y quando X=0 é 60 pastéis/hora (comentário sobre extrapolação abaixo).

Passo 9

Escrevo a equação da regressão e explico os coeficientes de forma prática e com aviso de prova:
A reta estimada é
\hat{Y}=60+5X.
Interpretação didática e como responder na prova:
  • Coeficiente angular \beta_1=5: significa que, segundo o ajuste linear pelos mínimos quadrados, o acréscimo de uma hora de treinamento está associado a um aumento médio de 5 pastéis por hora na produção. Na prova, diga algo como: “A cada hora adicional de treinamento, espera-se que a produção aumente em 5 pastéis/hora, em média.”
  • Intercepto \beta_0=60: é a previsão de Y quando X=0; ou seja, um empregado sem treinamento teria previsão de produzir 60 pastéis/hora. Sempre acrescente o aviso (importante em prova): isso é uma extrapolação se não houver observações próximas de X=0; portanto comente que a interpretação do intercepto só é sensata se X=0 fizer sentido no contexto ou se for uma interpolação dentro da faixa dos dados.

Resposta

\hat{Y}=60+5X
Intercepto: \beta_0=60 — previsão de 60 pastéis/hora quando X=0 (cuidado: extrapolação).
Coeficiente angular: \beta_1=5 — cada hora adicional de treinamento aumenta em média 5 pastéis/hora.

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