Qual é a espessura de um tanque esférico de ferro, sabendo-se que a perda de calor é de 2 0 0 0 0 0 , 0 0 k c a l / h, k=45 kcal / m h ^circ C, raio interno de 0,4 m, temperatura na parede interna de 70^circ C e na externa de 40^circ C ?

Passo 1

Beleza, o problema pede para achar a espessura de um tanque esférico de ferro sabendo a taxa de perda de calor por condução. O conteúdo envolvido é Condução de Calor em Casca Esférica. Para resolver a gente vai precisar:
  1. Da fórmula de condução de calor em casca esférica;
  2. Dos dados:
    • Q,(=dot Q)=200,000 kcal/h (fluxo de calor);
    • k=45 kcal/(mcdot hcdot^circ C) (condutividade térmica);
    • ri=0,4 m (raio interno);
    • Ti=70^circ C e To=40^circ C (temperaturas interna e externa).

Passo 2

A teoria diz que, para uma casca esférica, o fluxo de calor estacionário por condução é
dot Q ;=; 4pi,k,(Ti-To)1ri-1ro
onde ro é o raio externo ( ro=ri+e, com e a espessura). Nosso objetivo é isolar ro nessa equação.

Passo 3

Vamos reorganizar a fórmula para achar 1ro:
1ri-1ro ;=; 4pi,k,(Ti-To)dot Q
Logo,
$$
\frac1{r_o}

\frac1{r_i}

\frac{4\pi,k,(T_i-T_o)}{\dot Q}
$$

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
  • De,
  • 4pi k,De,
  • dot Q=200,000.

Então
$$
\frac1{r_o}

\frac1{0{,}4}

\frac{16964{,}6}{200,000}

2{,}5

0{,}084823

2{,}415177\ \mathrm{m^{-1}}
1ro = 10,4 - 16964,6200,000 = 2,5 - 0,084823 = 2,415177 m^-1 í
r_o

\frac1{2{,}415177}
\approx0{,}414\ \mathrm{m}.
$$

Resposta

A espessura do tanque é
e = ro - ri = 0,414,m - 0,400,m = 0,014,m,
ou seja, cerca de 1,4 cm.

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