1. Uma espira de 30 cm de diâmetro é submetida à circulação de uma corrente de 3 A . Qual o valor da densidade de fluxo no centro dessa espira, estando esta no ar? E se colocarmos um material com permeabilidade relativa igual a 1000, qual será o novo valor de B? R: 12,56 \boldsymbol{\mu} \mathbf{T} \boldsymbol{;} \mathbf{1 2 , 5 6 M t}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (todos os números abaixo estão exatamente como no enunciado).
  • Dados:
    • Diâmetro da espira: \,30\\ \text{cm}\,.
    • Corrente que circula na espira: \,I=3\\ \text{A}\,.
    • Primeiro caso: a espira está no ar (ou vácuo).
    • Segundo caso: coloca-se um material no interior com permeabilidade relativa \,\mu_r=1000.
  • O que o enunciado pede:
    1. Calcular a densidade de fluxo magnético B no centro da espira quando ela está no ar.
    2. Calcular o novo valor de B quando a espira está imersa no material com \mu_r=1000.

Passo 2

Entender a fórmula que usamos: para uma espira circular única de raio R que carrega corrente I, o valor do campo magnético no centro da espira é dado pela fórmula (resultado do Lei de Biot–Savart após integração):
B=\dfrac{\mu_0\,I}{2R}.
Explicando cada símbolo nessa fórmula:
  • \,B é a densidade de fluxo magnético no centro (unidade: tesla, \mathrm{T}).
  • \,\mu_0 é a permeabilidade do vácuo (constante física), cujo valor é \,\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} (ou \mathrm{T\,m/A}).
  • \,I é a corrente elétrica que passa pela espira (em ampere).
  • \,R é o raio da espira (em metros).
    Motivo rápido (intuitivo): cada pequeno trecho de fio com corrente gera um campo magnético; por simetria os componentes somam-se ao longo do eixo central, e a integração dá exatamente essa expressão simples.

Passo 3

Converter os dados e calcular o raio \,R:
  • Diâmetro =30\\ \text{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m}. Portanto
R=\dfrac{\text{diâmetro}}{2}=\dfrac{0{,}30}{2}=0{,}15\\ \mathrm{m}.â

Passo 4

Calcular B no ar usando a fórmula. Substituindo \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}, I=3\\ \mathrm{A} e R=0{,}15\\ \mathrm{m}:
B=\dfrac{\mu_0 I}{2R}=\dfrac{(4\pi\times10^{-7})\cdot 3}{2\cdot 0{,}15}.
Vamos simplificar passo a passo:
\text{numerador}=(4\pi\times10^{-7})\cdot 3=12\pi\times10^{-7},
\text{denominador}=2\cdot0{,}15=0{,}30,
B=\dfrac{12\pi\times10^{-7}}{0{,}30}=\left(\dfrac{12}{0{,}30}\right)\pi\times10^{-7}=40\pi\times10^{-7}.
Reescrevendo 40\pi\times10^{-7}=4\pi\times10^{-6}, portanto
B=4\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.
Calculando numericamente ( \pi\approx3{,}1416):
B\approx 4\cdot 3{,}1416\times10^{-6}=12{,}5664\times10^{-6}\\ \mathrm{T}=12{,}5664\\ \mu\mathrm{T}.
Arredondando com duas casas decimais útil na prova:
B\approx 12{,}56\\ \mu\mathrm{T}.

Passo 5

Calcular B quando o meio tem permeabilidade relativa \mu_r=1000.
Teoria curta: quando se insere um material magnético linear, a permeabilidade absoluta do meio passa a ser
\mu=\mu_r\,\mu_0.
A expressão do campo no centro da espira mantém a mesma forma, apenas substitui-se \mu_0 por \mu:
B'=\dfrac{\mu\,I}{2R}=\dfrac{\mu_r\,\mu_0\,I}{2R}=\mu_r\cdot\left(\dfrac{\mu_0 I}{2R}\right)=\mu_r\cdot B.
Ou seja, o novo B' é \mu_r vezes o B no ar. Como \mu_r=1000,
B'=1000\cdot 12{,}5664\\ \mu\mathrm{T}=12{,}5664\times10^{3}\\ \mu\mathrm{T}.
Converter para unidades mais usuais: 1{,}000\\ \mu\mathrm{T}=1\\ \mathrm{mT}, então
B'\approx 12{,}5664\\ \mathrm{mT}.
Arredondando:
B'\approx 12{,}56\\ \mathrm{mT}.

Passo 6

Resumo e observações práticas (curta):
  • No ar (ou vácuo) a fórmula direta deu B\approx 12{,}56\\ \mu\mathrm{T}.
  • Com \mu_r=1000 o campo aumenta em fator 1000, ficando B'\approx 12{,}56\\ \mathrm{mT}.
  • Atenção: em problemas reais, materiais com \mu_r muito grandes podem saturar; aqui usamos o modelo linear ideal indicado pelo enunciado.

Resposta

12{,}56\\ \mu\mathrm{T}
12{,}56\\ \mathrm{mT}

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