Uma espira circular de raio R=10 \mathrm{~cm} é percorrida por corrente i=5,0 \mathrm{~A}.
Determine o módulo do campo magnético no centro da espira.
Dado: \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \cdot \mathrm{~m} / \mathrm{A}. Use a fórmula geral do eixo com z=0.
a) Escreva a expressão geral do campo magnético no eixo de uma espira e simplifique para z=0.
b) Calcule o valor numérico de B.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
  • Dados fornecidos:
    • Raio da espira: R=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
    • Corrente na espira: i=5{,}0\\ \mathrm{A}.
    • Constante magnética do vácuo: \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
  • Perguntas:
    a) Escrever a expressão geral do campo magnético ao longo do eixo de uma espira circular (distância z a partir do centro) e então simplificá-la para o caso z=0 (campo no centro).
    b) Calcular numericamente o valor do módulo B no centro da espira usando os dados acima.

Passo 2

Apresentar a lei que usamos e explicar cada símbolo (a “aula” rápida).
  • A lei usada é a lei de Biot–Savart (forma diferencial), que dá o campo magnético produzido por um elemento de corrente:
d\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{i\,d\vec{\ell}\times\vec{r}}{r^{3}}.
  • Aqui:
    • i é a corrente (em A).
    • d\vec{\ell} é o vetor comprimento do elemento da espira (direção tangencial).
    • \vec{r} é o vetor que vai do elemento d\vec{\ell} até o ponto onde se calcula o campo.
    • r=|\vec{r}| é a distância entre o elemento e o ponto.
    • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo.
  • Estrategicamente: para um ponto sobre o eixo da espira (eixo perpendicular ao plano da espira passando pelo centro), a simetria faz com que as componentes transversais do campo (no plano perpendicular ao eixo) se cancelem ao integrar a espira inteira; sobra apenas a componente ao longo do eixo (chamarei essa componente de B_z). Vamos calcular B_z integrando ao longo da espira.

Passo 3

Escolher um sistema de coordenadas e parametrizar a espira (descrição geométrica).
  • Coloco a espira no plano xy com centro na origem e raio R. Um ponto sobre o eixo está em (0,0,z).
  • Parametrização da espira: usar o ângulo \varphi (variando de 0 a 2\pi):
    • posição do elemento da espira: \vec{r}'=(R\cos\varphi)\,\hat{\imath}+(R\sin\varphi)\,\hat{\jmath}+0\cdot\hat{k}.
    • o vetor de comprimento do elemento é
    d\vec{\ell} = R(-\sin\varphi\,\hat{\imath}+\cos\varphi\,\hat{\jmath})\,d\varphi.
    • vetor do elemento até o ponto sobre o eixo:
    \vec{r}=(0,0,z)-\vec{r}' = -R\cos\varphi\,\hat{\imath}-R\sin\varphi\,\hat{\jmath}+z\,\hat{k}.
    • sua magnitude é
    r=\sqrt{R^{2}+z^{2}} \quad\text{(independe de }\varphi\text{)}.

Passo 4

Calcular a componente axial dB_z de d\vec{B} e integrar.
  • Usamos a forma conveniente da lei de Biot–Savart com \vec{r} (não unitário):
d\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{i\,d\vec{\ell}\times\vec{r}}{r^{3}}.
  • Precisamos apenas da componente z de d\vec{B}. Calculo o z-componente do produto vetorial d\vec{\ell}\times\vec{r}:
    • Usando determinante ou multiplicação direta, o componente z é
    (d\vec{\ell}\times\vec{r})_{z}=d\ell_x\,r_y - d\ell_y\,r_x.
    • Substituindo d\ell_x=-R\sin\varphi\,d\varphi, d\ell_y=R\cos\varphi\,d\varphi, r_x=-R\cos\varphi, r_y=-R\sin\varphi:
    (d\vec{\ell}\times\vec{r})_{z}=(-R\sin\varphi\,d\varphi)(-R\sin\varphi)-(R\cos\varphi\,d\varphi)(-R\cos\varphi)=R^{2}d\varphi(\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi)=R^{2}d\varphi.
    • Assim
    dB_{z}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{i\,(d\vec{\ell}\times\vec{r})_{z}}{r^{3}} =\frac{\mu_{0}i}{4\pi}\,\frac{R^{2}d\varphi}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}.
  • Integrando \varphi de 0 a 2\pi:
B_{z}(z)=\int_{0}^{2\pi} dB_{z} =\frac{\mu_{0}i}{4\pi}\,\frac{R^{2}}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\int_{0}^{2\pi} d\varphi =\frac{\mu_{0}i}{4\pi}\,\frac{R^{2}}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\cdot 2\pi.
  • Simplificando o fator 2\pi:
\boxed{\,B(z)=\frac{\mu_{0} i R^{2}}{2\,(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\,}
Essa é a expressão geral do campo magnético no eixo de uma espira circular.

Passo 5

Simplificar a expressão para z=0 (campo no centro da espira).
  • Substituindo z=0 em B(z):
B(0)=\frac{\mu_{0} i R^{2}}{2\,(R^{2}+0^{2})^{3/2}} =\frac{\mu_{0} i R^{2}}{2\,R^{3}} =\frac{\mu_{0} i}{2R}.
  • Portanto a expressão simplificada para o módulo do campo no centro é
\boxed{\,B=\frac{\mu_{0} i}{2R}\,}

Passo 6

Cálculo numérico com as unidades (mostrando cada passo aritmético).
  • Converter R para metros: R=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • Substituir \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}, i=5{,}0\\ \mathrm{A}, R=0{,}10\\ \mathrm{m} em
B=\frac{\mu_{0} i}{2R}.
  • Calcular o numerador:
\mu_{0} i = (4\pi\times10^{-7})\cdot 5{,}0 = 20\pi\times10^{-7}=2\pi\times10^{-6}.
  • Dividir por 2R=2\times0{,}10=0{,}20:
B=\frac{2\pi\times10^{-6}}{0{,}20}=(2\pi\times10^{-6})\cdot 5 =10\pi\times10^{-6}=\pi\times10^{-5}.
  • Em valor decimal:
B=\pi\times10^{-5}\\ \mathrm{T}\approx 3{,}1416\times10^{-5}\\ \mathrm{T}=3{,}14\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
  • Em microtesla:
B\approx 31{,}4\\ \mu\mathrm{T}.

Resposta

(a) \displaystyle B(z)=\frac{\mu_{0} i R^{2}}{2\,(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\quad\text{e, para }z=0:\quad B=\frac{\mu_{0} i}{2R}.
(b) \displaystyle B\approx 3{,}14\times10^{-5}\\ \mathrm{T}\approx 31{,}4\\ \mu\mathrm{T}.

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