Uma espira circular de raio
é percorrida por corrente
.
Determine o módulo do campo magnético no centro da espira.
Dado:
. Use a fórmula geral do eixo com
.
a) Escreva a expressão geral do campo magnético no eixo de uma espira e simplifique para
.
b) Calcule o valor numérico de
.
Determine o módulo do campo magnético no centro da espira.
a) Escreva a expressão geral do campo magnético no eixo de uma espira e simplifique para
b) Calcule o valor numérico de
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
- Dados fornecidos:
- Raio da espira:
. - Corrente na espira:
. - Constante magnética do vácuo:
.
- Raio da espira:
- Perguntas:
a) Escrever a expressão geral do campo magnético ao longo do eixo de uma espira circular (distânciaa partir do centro) e então simplificá-la para o caso (campo no centro).
b) Calcular numericamente o valor do módulono centro da espira usando os dados acima.
Passo 2
Apresentar a lei que usamos e explicar cada símbolo (a “aula” rápida).
- A lei usada é a lei de Biot–Savart (forma diferencial), que dá o campo magnético produzido por um elemento de corrente:
- Aqui:
-
é a corrente (em A). -
é o vetor comprimento do elemento da espira (direção tangencial). -
é o vetor que vai do elemento até o ponto onde se calcula o campo. -
é a distância entre o elemento e o ponto. -
é a permeabilidade do vácuo.
-
- Estrategicamente: para um ponto sobre o eixo da espira (eixo perpendicular ao plano da espira passando pelo centro), a simetria faz com que as componentes transversais do campo (no plano perpendicular ao eixo) se cancelem ao integrar a espira inteira; sobra apenas a componente ao longo do eixo (chamarei essa componente de
). Vamos calcular integrando ao longo da espira.
Passo 3
Escolher um sistema de coordenadas e parametrizar a espira (descrição geométrica).
- Coloco a espira no plano
com centro na origem e raio . Um ponto sobre o eixo está em . - Parametrização da espira: usar o ângulo
(variando de a ): - posição do elemento da espira:
. - o vetor de comprimento do elemento é
- vetor do elemento até o ponto sobre o eixo:
- sua magnitude é
- posição do elemento da espira:
Passo 4
Calcular a componente axial
de
e integrar.
- Usamos a forma conveniente da lei de Biot–Savart com
(não unitário):
- Precisamos apenas da componente
de . Calculo o -componente do produto vetorial : - Usando determinante ou multiplicação direta, o componente
é
- Substituindo
, , , :
- Assim
- Usando determinante ou multiplicação direta, o componente
- Integrando
de a :
- Simplificando o fator
:
Essa é a expressão geral do campo magnético no eixo de uma espira circular.
Passo 5
Simplificar a expressão para
(campo no centro da espira).
- Substituindo
em :
- Portanto a expressão simplificada para o módulo do campo no centro é
Passo 6
Cálculo numérico com as unidades (mostrando cada passo aritmético).
- Converter
para metros: . - Substituir
, , em
- Calcular o numerador:
- Dividir por
:
- Em valor decimal:
- Em microtesla:
Resposta
(a)
(b)
(b)