Dois fios longos e paralelos estão separados por uma distância d=12 \mathrm{~cm}. O fio 1 conduz corrente I_{1}=8,0 \mathrm{~A} e o fio 2 conduz corrente I_{2}=5,0 \mathrm{~A}, ambas no mesmo sentido.
Dado: \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \cdot \mathrm{~m} / \mathrm{A}
a) Use Biot-Savart para deduzir que o campo do fio 1 a distância r é B_{1}=\mu_{0} I_{1} /(2 \pi r). (Mostre o raciocínio, não precisa fazer a integral.)
b) Calcule o campo B_{1} na posição do fio 2 .
c) Calcule a força por unidade de comprimento que o fio 1 exerce sobre o fio 2 . Os fios se atraem ou se repelem?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Distância entre os fios: d=12\\ \mathrm{cm}.
    • Corrente no fio 1: I_{1}=8,0\\ \mathrm{A}.
    • Corrente no fio 2: I_{2}=5,0\\ \mathrm{A}.
    • Constante: \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
  • Perguntas:
    (a) Usar a lei de Biot–Savart para deduzir que o campo magnético do fio 1, a distância r do fio, é B_{1}=\dfrac{\mu_{0}I_{1}}{2\pi r}.
    (b) Calcular B_{1} na posição do fio 2 (ou seja, em r=d).
    (c) Calcular a força por unidade de comprimento que o fio 1 exerce sobre o fio 2 e dizer se se atraem ou se repelem.

Passo 2

Apresentar a lei de Biot–Savart e definir geometria; explicar o significado de cada termo.
A lei de Biot–Savart para uma corrente estacionária descreve o campo magnético \mathbf{B} gerado por um elemento de corrente I\,d\boldsymbol{\ell}:
d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{I\,d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}.
Aqui:
  • d\mathbf{B} é o campo magnético infinitesimal produzido pelo elemento de fio I\,d\boldsymbol{\ell}.
  • \hat{\mathbf{r}} é o versor que aponta do elemento de corrente até o ponto onde se calcula o campo.
  • r é a distância entre o elemento e o ponto.
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo.
Geometria escolhida: tomar o fio 1 como íntegro e retilíneo, alinhado ao eixo z. Queremos o campo em um ponto que está a uma distância r do fio (no plano perpendicular). Por simetria (fio infinito e retilíneo) espera-se que \mathbf{B} seja tangencial a círculos concêntricos com o fio (linhas de campo circulares) e que o módulo de \mathbf{B} dependa apenas de r.

Passo 3

Montar a integral de Biot–Savart para o fio retilíneo infinito e explicar como ela leva à expressão pedida (mostrando o raciocínio).
Escolhendo um elemento de corrente no fio em coordenada z com d\boldsymbol{\ell}=dz\,\hat{\mathbf{z}}. A distância entre esse elemento e o ponto de interesse (a distância perpendicular é r) é R=\sqrt{r^{2}+z^{2}}. O ângulo entre d\boldsymbol{\ell} e \hat{\mathbf{r}} é tal que |d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}}|=dz\sin\theta, e geometricamente \sin\theta=\dfrac{r}{R}. Assim o módulo do campo produzido por esse elemento é
dB=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,I\,\frac{dz\,\sin\theta}{R^{2}} =\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\,\frac{r\,dz}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}.
O campo total é a soma (integral) de dB para todo o fio, isto é z vai de -\infty a +\infty:
B(r)=\frac{\mu_{0}I r}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}.
A integral acima é uma integral padrão; seu valor pode ser mostrado (por cálculo direto ou tabelas de integrais) ser
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}=\frac{2}{r^{2}}.
Substituindo esse resultado na expressão de B(r) obtemos
B(r)=\frac{\mu_{0}I r}{4\pi}\cdot\frac{2}{r^{2}}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}.
Portanto, usando Biot–Savart e a simetria do fio infinito, chegamos a
B_{1}(r)=\frac{\mu_{0}I_{1}}{2\pi r},
que é o que se pedia deduzir. (Observação: o mesmo resultado pode ser obtido de forma mais direta usando a Lei de Ampère para essa simetria.)

Passo 4

Calcular numericamente B_{1} na posição do fio 2 (isto é, em r=d).
Colocar os números (lembrando de passar para unidades do SI): d=12\\ \mathrm{cm}=0,12\\ \mathrm{m}. Usando
B_{1}(d)=\frac{\mu_{0}I_{1}}{2\pi d},
substituindo \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}, I_{1}=8,0\\ \mathrm{A} e d=0,12\\ \mathrm{m}:
B_{1}(d)=\frac{(4\pi\times10^{-7})\cdot 8,0}{2\pi\cdot 0,12} =\frac{32\pi\times10^{-7}}{0,24\pi} = \frac{32}{0,24}\times10^{-7} =1{,}333\ldots\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
Arredondando razoavelmente:
B_{1}(d)=1{,}33\times10^{-5}\\ \mathrm{T}=13{,}3\\ \mu\mathrm{T}.

Passo 5

Calcular a força por unidade de comprimento que o fio 1 exerce sobre o fio 2 e discutir a atração/repulsão.
A força magnética sobre um segmento de fio que conduz corrente I imerso em um campo magnético \mathbf{B} é \mathbf{F}=I\,\mathbf{L}\times\mathbf{B}. O módulo da força por unidade de comprimento (tomando |\mathbf{L}|=1\\ \mathrm{m}) é
\frac{F}{L}=I_{2}B_{1}(d)\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{I_{2}} (direção da corrente) e \mathbf{B}_{1}. Para dois fios paralelos com correntes no mesmo sentido, o campo \mathbf{B}_{1} em torno do fio 1 é perpendicular à direção da corrente no ponto onde está o fio 2, logo \sin\theta=1. Assim
\frac{F}{L}=I_{2}B_{1}(d).
Substituindo I_{2}=5{,}0\\ \mathrm{A} e B_{1}(d)=1{,}333\ldots\times10^{-5}\\ \mathrm{T}:
\frac{F}{L}=5{,}0\times 1{,}333\ldots\times10^{-5}=6{,}666\ldots\times10^{-5}\\ \mathrm{N/m}.
Arredondando:
\frac{F}{L}=6{,}67\times10^{-5}\\ \mathrm{N/m}.
Sobre atração ou repulsão: fios com correntes no mesmo sentido se atraem. Explicação física curta e intuitiva: com correntes no mesmo sentido, o campo de um fio faz com que as cargas no outro fio sofram uma força dirigida para o primeiro fio (pode-se ver isso aplicando a regra da mão direita para determinar a direção do campo circular do fio 1 e em seguida usar \mathbf{F}=I\mathbf{L}\times\mathbf{B} para ver que a força aponta em direção ao fio 1).

Resposta

(a) B_{1}(r)=\dfrac{\mu_{0}I_{1}}{2\pi r}.
(b) B_{1}(d)=1{,}33\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
(c) \dfrac{F}{L}=6{,}67\times10^{-5}\\ \mathrm{N/m}. Os fios se atraem.

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