Dois fios longos e paralelos estão separados por uma distância
. O fio 1 conduz corrente
e o fio 2 conduz corrente
, ambas no mesmo sentido.
Dado:
a) Use Biot-Savart para deduzir que o campo do fio 1 a distância r é
. (Mostre o raciocínio, não precisa fazer a integral.)
b) Calcule o campo
na posição do fio 2 .
c) Calcule a força por unidade de comprimento que o fio 1 exerce sobre o fio 2 . Os fios se atraem ou se repelem?
a) Use Biot-Savart para deduzir que o campo do fio 1 a distância r é
b) Calcule o campo
c) Calcule a força por unidade de comprimento que o fio 1 exerce sobre o fio 2 . Os fios se atraem ou se repelem?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Distância entre os fios:
. - Corrente no fio 1:
. - Corrente no fio 2:
. - Constante:
.
- Distância entre os fios:
-
Perguntas:
(a) Usar a lei de Biot–Savart para deduzir que o campo magnético do fio 1, a distânciado fio, é .
(b) Calcularna posição do fio 2 (ou seja, em ).
(c) Calcular a força por unidade de comprimento que o fio 1 exerce sobre o fio 2 e dizer se se atraem ou se repelem.
Passo 2
Apresentar a lei de Biot–Savart e definir geometria; explicar o significado de cada termo.
A lei de Biot–Savart para uma corrente estacionária descreve o campo magnético
gerado por um elemento de corrente
:
Aqui:
-
é o campo magnético infinitesimal produzido pelo elemento de fio . -
é o versor que aponta do elemento de corrente até o ponto onde se calcula o campo. -
é a distância entre o elemento e o ponto. -
é a permeabilidade do vácuo.
Geometria escolhida: tomar o fio 1 como íntegro e retilíneo, alinhado ao eixo
. Queremos o campo em um ponto que está a uma distância
do fio (no plano perpendicular). Por simetria (fio infinito e retilíneo) espera-se que
seja tangencial a círculos concêntricos com o fio (linhas de campo circulares) e que o módulo de
dependa apenas de
.
Passo 3
Montar a integral de Biot–Savart para o fio retilíneo infinito e explicar como ela leva à expressão pedida (mostrando o raciocínio).
Escolhendo um elemento de corrente no fio em coordenada
com
. A distância entre esse elemento e o ponto de interesse (a distância perpendicular é
) é
. O ângulo entre
e
é tal que
, e geometricamente
. Assim o módulo do campo produzido por esse elemento é
O campo total é a soma (integral) de
para todo o fio, isto é
vai de
a
:
A integral acima é uma integral padrão; seu valor pode ser mostrado (por cálculo direto ou tabelas de integrais) ser
Substituindo esse resultado na expressão de
obtemos
Portanto, usando Biot–Savart e a simetria do fio infinito, chegamos a
que é o que se pedia deduzir. (Observação: o mesmo resultado pode ser obtido de forma mais direta usando a Lei de Ampère para essa simetria.)
Passo 4
Calcular numericamente
na posição do fio 2 (isto é, em
).
Colocar os números (lembrando de passar para unidades do SI):
. Usando
substituindo
,
e
:
Arredondando razoavelmente:
Passo 5
Calcular a força por unidade de comprimento que o fio 1 exerce sobre o fio 2 e discutir a atração/repulsão.
A força magnética sobre um segmento de fio que conduz corrente
imerso em um campo magnético
é
. O módulo da força por unidade de comprimento (tomando
) é
onde
é o ângulo entre
(direção da corrente) e
. Para dois fios paralelos com correntes no mesmo sentido, o campo
em torno do fio 1 é perpendicular à direção da corrente no ponto onde está o fio 2, logo
. Assim
Substituindo
e
:
Arredondando:
Sobre atração ou repulsão: fios com correntes no mesmo sentido se atraem. Explicação física curta e intuitiva: com correntes no mesmo sentido, o campo de um fio faz com que as cargas no outro fio sofram uma força dirigida para o primeiro fio (pode-se ver isso aplicando a regra da mão direita para determinar a direção do campo circular do fio 1 e em seguida usar
para ver que a força aponta em direção ao fio 1).
Resposta
(a)
(b)
(c) . Os fios se atraem.
(b)
(c)