Um fio retilíneo infinito ao longo do eixo x é percorrido por uma corrente I. Calcule o campo magnético no ponto P=(0, a, 0) (com a>0 ).
Dado: \int \frac{d x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}}=\frac{x}{\left[a^{2} \times \sqrt{x^{2}+a^{2}}\right]}+C
a) Mostre que a contribuição para d \boldsymbol{B} de um elemento de fio I d x na posição x é d \boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{a d x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}} \hat{\boldsymbol{z}} (ou -\hat{\boldsymbol{z}}, dependendo do sentido da corrente).
b) Integre de -\infty a +\infty para encontrar o campo total B no ponto P=(0, a, 0).

Passo 1

O enunciado dá um fio retilíneo infinito ao longo do eixo x percorrido por uma corrente I. O ponto onde se quer o campo magnético é P=(0,a,0) com a>0. Foi fornecida a primitiva
\int \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}=\frac{x}{a^{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}}+C.
O que se pede:
a) Mostrar que a contribuição de um elemento de fio I\,dx na posição x é
d\boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{a\,dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}\hat{\boldsymbol{z}}
(ou com sinal negativo dependendo do sentido da corrente).
b) Integrar essa contribuição de x=-\infty a x=+\infty para obter o campo total \boldsymbol{B} em P.

Passo 2

Apresentar a lei de Biot–Savart e explicar as quantidades envolvidas. A lei diz que o campo magnético produzido por um elemento de corrente é
d\boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I\,d\boldsymbol{\ell}\times\boldsymbol{r}}{r^{3}}.
Aqui:
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo (constante).
  • I é a corrente no fio.
  • d\boldsymbol{\ell} é o vetor elemento de comprimento na direção da corrente (módulo dx aqui).
  • \boldsymbol{r}=\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}' é o vetor que vai do ponto de emissão (posição da corrente) até o ponto de campo P.
  • r=|\boldsymbol{r}| e aparece no denominador como r^{3}.
    Esta fórmula dá um vetor: o produto vetorial d\boldsymbol{\ell}\times\boldsymbol{r} fixará direção e sinal.

Passo 3

Escolher coordenadas e escrever os vetores envolvidos. Um elemento de fio na posição x tem posição \boldsymbol{r}'=(x,0,0). O ponto de campo é \boldsymbol{R}=(0,a,0). Assim
d\boldsymbol{\ell}=dx\,\hat{\boldsymbol{x}}, \qquad \boldsymbol{r}=\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}'=(-x,\,a,\,0).
O módulo r é
r=\sqrt{(-x)^{2}+a^{2}}=\sqrt{x^{2}+a^{2}}, \qquad r^{3}=(x^{2}+a^{2})^{3/2}.

Passo 4

Calcular o produto vetorial d\boldsymbol{\ell}\times\boldsymbol{r} passo a passo. Usando d\boldsymbol{\ell}=dx\,\hat{\boldsymbol{x}} e \boldsymbol{r}=-x\hat{\boldsymbol{x}}+a\hat{\boldsymbol{y}}:
d\boldsymbol{\ell}\times\boldsymbol{r} =dx\,\hat{\boldsymbol{x}}\times(-x\hat{\boldsymbol{x}}+a\hat{\boldsymbol{y}}) =dx\big(-x\,\hat{\boldsymbol{x}}\times\hat{\boldsymbol{x}}+a\,\hat{\boldsymbol{x}}\times\hat{\boldsymbol{y}}\big).
Como \hat{\boldsymbol{x}}\times\hat{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{0} e \hat{\boldsymbol{x}}\times\hat{\boldsymbol{y}}=\hat{\boldsymbol{z}}, obtemos
d\boldsymbol{\ell}\times\boldsymbol{r}=a\,dx\,\hat{\boldsymbol{z}}.
Substituindo na lei de Biot–Savart:
d\boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I\,(a\,dx\,\hat{\boldsymbol{z}})}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}} =\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{a\,dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}\hat{\boldsymbol{z}}.
Observação sobre o sinal: aqui foi assumido que d\boldsymbol{\ell}=dx\,\hat{\boldsymbol{x}} (corrente no sentido +x). Se a corrente estiver no sentido -x então d\boldsymbol{\ell}=-dx\,\hat{\boldsymbol{x}} e toda a expressão ganha sinal negativo, ou seja -\hat{\boldsymbol{z}}. Isso responde o item (a).

Passo 5

Montar a integral para o campo total e usar a primitiva dada. Somando as contribuições de todos os elementos de fio de x=-\infty a x=+\infty:
\boldsymbol{B}=\int_{-\infty}^{\infty} d\boldsymbol{B} =\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\hat{\boldsymbol{z}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{a\,dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}.
Usando a primitiva fornecida, primeiro note que
\int\frac{a\,dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}} = a\left(\frac{x}{a^{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\right)+C =\frac{x}{a\sqrt{x^{2}+a^{2}}}+C.
Agora avaliar nos limites improprios. Calcular os limites:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{a\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\frac{1}{a}, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{a\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=-\frac{1}{a}.
Portanto a integral definida vale
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{a\,dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}} =\frac{1}{a}-\left(-\frac{1}{a}\right)=\frac{2}{a}.

Passo 6

Multiplicar pelo prefator para obter o campo total. Substituindo o valor da integral:
\boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\hat{\boldsymbol{z}}\cdot\frac{2}{a} =\frac{\mu_{0}I}{2\pi a}\,\hat{\boldsymbol{z}}.
Relembrando a observação do Passo 4: este resultado tem direção \hat{\boldsymbol{z}} para corrente no sentido +x; se a corrente for no sentido oposto o vetor campo terá sinal contrário.

Resposta

a) d\boldsymbol{B}=\dfrac{\mu_{0}I}{4\pi}\dfrac{a\,dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}\hat{\boldsymbol{z}} (troque \hat{\boldsymbol{z}} por -\hat{\boldsymbol{z}} se a corrente for no sentido -x).
b) \boldsymbol{B}=\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi a}\,\hat{\boldsymbol{z}} (direção trocada se a corrente for no sentido oposto).

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