Um fio retilíneo infinito ao longo do eixo
é percorrido por uma corrente
. Calcule o campo magnético no ponto
(com
).
Dado:
a) Mostre que a contribuição para
de um elemento de fio
na posição
é
(ou
, dependendo do sentido da corrente).
b) Integre de
a
para encontrar o campo total
no ponto
.
a) Mostre que a contribuição para
b) Integre de
Passo 1
O enunciado dá um fio retilíneo infinito ao longo do eixo
percorrido por uma corrente
. O ponto onde se quer o campo magnético é
com
. Foi fornecida a primitiva
O que se pede:
a) Mostrar que a contribuição de um elemento de fio na posição
é
a) Mostrar que a contribuição de um elemento de fio
(ou com sinal negativo dependendo do sentido da corrente).
b) Integrar essa contribuição de a
para obter o campo total
em
.
b) Integrar essa contribuição de
Passo 2
Apresentar a lei de Biot–Savart e explicar as quantidades envolvidas. A lei diz que o campo magnético produzido por um elemento de corrente é
Aqui:
-
é a permeabilidade do vácuo (constante). -
é a corrente no fio. -
é o vetor elemento de comprimento na direção da corrente (módulo aqui). -
é o vetor que vai do ponto de emissão (posição da corrente) até o ponto de campo . -
e aparece no denominador como .
Esta fórmula dá um vetor: o produto vetorialfixará direção e sinal.
Passo 3
Escolher coordenadas e escrever os vetores envolvidos. Um elemento de fio na posição
tem posição
. O ponto de campo é
. Assim
O módulo
é
Passo 4
Calcular o produto vetorial
passo a passo. Usando
e
:
Como
e
, obtemos
Substituindo na lei de Biot–Savart:
Observação sobre o sinal: aqui foi assumido que
(corrente no sentido
). Se a corrente estiver no sentido
então
e toda a expressão ganha sinal negativo, ou seja
. Isso responde o item (a).
Passo 5
Montar a integral para o campo total e usar a primitiva dada. Somando as contribuições de todos os elementos de fio de
a
:
Usando a primitiva fornecida, primeiro note que
Agora avaliar nos limites improprios. Calcular os limites:
Portanto a integral definida vale
Passo 6
Multiplicar pelo prefator para obter o campo total. Substituindo o valor da integral:
Relembrando a observação do Passo 4: este resultado tem direção
para corrente no sentido
; se a corrente for no sentido oposto o vetor campo terá sinal contrário.
Resposta
a)
(troque
por
se a corrente for no sentido
).
b) (direção trocada se a corrente for no sentido oposto).
b)