Uma espira circular de raio 12 cm está imersa em um campo magnético uniforme perpendicular ao seu plano. O campo varia no tempo segundo:
B(t)=(0,20+0,30 t) \mathrm{T}
a) Determine a fem induzida na espira.
b) Indique o sentido da corrente induzida.

Passo 1

O enunciado nos dá uma espira circular e um campo magnético uniforme perpendicular ao plano da espira que varia com o tempo. Dados fornecidos:
  • Raio da espira: r=12\\ \text{cm}=0{,}12\\ \text{m}.
  • Campo magnético (perpendicular ao plano da espira): B(t)=0{,}20+0{,}30\,t\\ \text{T}.
  • Perguntas:
    (a) Determinar a fem induzida na espira.
    (b) Indicar o sentido da corrente induzida.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados devagarinho):
  • Fluxo magnético \Phi através de uma superfície é a medida de quantas “linhas” de campo atravessam essa superfície. Para um campo uniforme perpendicular ao plano da espira vale:
\Phi(t)=B(t)\,A,
onde A é a área da espira. Aqui A tem unidades de \text{m}^2, B(t) de tesla e \Phi de weber (Wb).
  • Lei de Faraday da indução (forma integral para uma espira): a fem induzida \mathcal{E} é igual à variação negativa do fluxo:
\mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{dt}.
Explicando as variáveis: \mathcal{E} é a força eletromotriz (em volts), \Phi é o fluxo magnético (em Wb) e t é o tempo (s). O sinal negativo é a expressão matemática da Lei de Lenz: a corrente induzida gera um campo magnético que se opõe à mudança do fluxo que a causou.
  • Como B(t) é perpendicular ao plano da espira e uniforme, não há fator \cos e podemos usar diretamente \Phi=B(t)A.
  • Para decidir o sentido da corrente usamos a Lei de Lenz + regra da mão direita: a corrente induzida cria um campo magnético com sentido tal que tende a reduzir a variação do campo original. Se o campo original está aumentando para fora do plano, a corrente induzida cria um campo para dentro do plano; a direção da corrente que produz esse campo (vista de quem olha na direção do campo original) será horário ou anti-horário conforme o caso — vamos determinar isso explicitamente depois.

Passo 3

Calcular a área da espira:
A=\pi r^{2}=\pi (0{,}12)^2=\pi\cdot 0{,}0144=0{,}0144\pi\\ \text{m}^2.
Explanação: a fórmula da área do círculo é A=\pi r^{2}. Substitui-se r em metros para ficar consistente nas unidades SI.

Passo 4

Calcular a derivada temporal do campo magnético, que aparece em d\Phi/dt. Como B(t)=0{,}20+0{,}30\,t, a derivada é constante:
\frac{dB}{dt}=0{,}30\\ \text{T/s}.
Explicação: derivada de uma constante ( 0{,}20) é zero; derivada de 0{,}30\,t é 0{,}30.

Passo 5

Calcular d\Phi/dt e a fem \mathcal{E}. Como \Phi(t)=B(t)A e A é constante:
\frac{d\Phi}{dt}=A\frac{dB}{dt}.
Substituindo os valores:
\frac{d\Phi}{dt}=0{,}0144\pi\cdot 0{,}30=0{,}00432\pi\\ \text{Wb/s}.
Pela lei de Faraday:
\mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{dt}=-0{,}00432\pi\\ \text{V}.
Cálculo numérico aproximado (usando \pi\approx3{,}1416):
\mathcal{E}\approx -0{,}00432\cdot 3{,}1416 \approx -0{,}0136\\ \text{V}.
Interpretação: o valor absoluto da fem é |\mathcal{E}|=0{,}00432\pi\\ \text{V}\approx 0{,}0136\\ \text{V}. O sinal negativo indica que a polaridade da fem é tal que a corrente induzida se opõe ao aumento do fluxo (Lei de Lenz).

Passo 6

Determinar o sentido da corrente induzida (explicação passo a passo):
  • Observação: dB/dt=0{,}30>0, então o campo magnético perpendicular está aumentando com o tempo no sentido que chamaremos de “positivo”.
  • Escolher uma convenção prática: tomar como sentido positivo do vetor campo magnético \vec{B} o que corresponde a “saindo do plano da espira” (ou seja, visto por quem está de frente à espira, as linhas saem em sua direção). Com essa convenção, o campo que atravessa a espira está aumentando para fora do plano.
  • Pela Lei de Lenz, a corrente induzida produzirá um campo \vec{B}_{\text{ind}} que se oponha a esse aumento: portanto \vec{B}_{\text{ind}} deve apontar para dentro do plano.
  • Aplicando a regra da mão direita para correntes em laço: uma corrente que circule no sentido horário (vista da frente, quem olha na direção do campo original) produz campo para dentro do plano; uma corrente no sentido anti-horário produz campo para fora do plano. Como queremos \vec{B}_{\text{ind}} apontando para dentro do plano, a corrente induzida deve ser no sentido horário (quando vista por quem está na mesma direção que \vec{B}, ou seja, olhando “de frente” para a espira onde o campo aponta para fora).
  • Conclusão: a corrente induzida circula no sentido horário (horário visto por quem olha na direção do vetor \vec{B}, isto é, por quem está do lado para o qual o campo aponta).

Resposta

(a) \mathcal{E}=-0{,}00432\pi\\ \text{V}\approx -0{,}0136\\ \text{V} (valor absoluto |\mathcal{E}|=0{,}00432\pi\\ \text{V}\approx 0{,}0136\\ \text{V}).
(b) Sentido horário (vista por quem olha na direção do vetor \vec{B}, i.e., da mesma posição para a qual o campo aponta).

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