Um condutor cilíndrico maciço de raio R=3,0 \mathrm{~cm} conduz uma corrente total I=6,0 \mathrm{~A} uniformemente distribuída.
a) Determine o campo magnético para r<R.
b) Determine o campo magnético para r>R.
c) Esboce qualitativamente o gráfico B \times r.

Passo 1

O enunciado dá um condutor cilíndrico maciço de raio R=3{,}0\\ \mathrm{cm} que conduz uma corrente total I=6{,}0\\ \mathrm{A} uniformemente distribuída. Pede-se:
  • (a) o campo magnético \mathbf{B} para r<R (pontos dentro do condutor, à distância r do eixo);
  • (b) o campo magnético \mathbf{B} para r>R (fora do condutor);
  • (c) um esboço qualitativo do gráfico B\times r.
Informações relevantes dadas:
  • Raio do condutor: R=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
  • Corrente total: I=6{,}0\\ \mathrm{A} (peguei do enunciado).
  • A corrente está uniformemente distribuída no volume transversal do cilindro (ou seja, densidade de corrente constante).

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicando a ideia de forma simples).
  • Quando há simetria cilíndrica (condutor longo e corrente distribuída uniformemente), é muito eficiente usar a Lei de Ampère, porque o campo magnético terá simetria circular ao redor do eixo: \mathbf{B} é tangente a círculos concêntricos e depende só de r.
  • A Lei de Ampère, em sua forma integral, é:
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente atravessando a superfície limitada pelo contorno \mathcal{C}, e \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}).
  • Escolhemos uma curva amperiana circular de raio r, coaxial ao condutor, porque aí \mathbf{B} tem módulo constante ao longo da curva e é tangente: \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=B(r)\,d\ell.

Passo 3

Expressar a densidade de corrente e a corrente encerrada (parte didática sobre densidade de corrente).
  • Como a corrente está uniformemente distribuída na secção circular de raio R, a densidade de corrente (magnitude) é a corrente por unidade de área:
J=\frac{I}{\text{área}}=\frac{I}{\pi R^2}.á
Aqui J tem unidades \mathrm{A/m^2}. Significado: em qualquer pedaço de área transversal A' dentro do cilindro a corrente que passa por essa área é J\cdot A'.
  • Para um raio amperiano r<R (dentro do condutor), a área interior até r é \pi r^2. Assim a corrente encerrada por essa ampereana é
I_{\text{enc}}(r)=J\cdot \pi r^2=\frac{I}{\pi R^2}\cdot\pi r^2=I\frac{r^2}{R^2}.
Explicando em palavras: dentro do condutor a corrente cresce com a área proporcional a r^2.

Passo 4

Aplicar a Lei de Ampère para r<R (cálculo passo a passo).
  • A integral de linha num círculo de raio r
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=B(r)\cdot(2\pi r),
porque o comprimento do círculo é 2\pi r e B é constante ao longo dele.
  • Pela Lei de Ampère:
B(r)\cdot(2\pi r)=\mu_0 I_{\text{enc}}(r).
  • Substituindo I_{\text{enc}}(r)=I\frac{r^2}{R^2}:
B(r)\cdot(2\pi r)=\mu_0 I\frac{r^2}{R^2}.
  • Isolando B(r):
B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi R^2}\,r \qquad\text{para } r<R.
Comentário didático: essa expressão mostra que, dentro do fio, B cresce linearmente com r (porque mais corrente está “encerrada” quando o raio do laço aumenta).

Passo 5

Colocar a expressão numérica para a parte interna e exemplificar (converter unidades e avaliar coeficiente).
  • Primeiro converte-se R para metros: R=0{,}03\\ \mathrm{m}.
  • Calcular o coeficiente \dfrac{\mu_0 I}{2\pi R^2}:
\frac{\mu_0 I}{2\pi R^2}=\frac{(4\pi\times10^{-7})\cdot 6{,}0}{2\pi\cdot(0{,}03)^2}.
Simplificando passo a passo:
\frac{(4\pi\times10^{-7})\cdot 6}{2\pi}=\frac{24\pi\times10^{-7}}{2\pi}=12\times10^{-7}=1{,}2\times10^{-6}.
Agora dividir por R^2=(0{,}03)^2=9\times10^{-4}:
\frac{1{,}2\times10^{-6}}{9\times10^{-4}}=\frac{1{,}2}{9}\times10^{-6+4}=0{,}1333\ldots\times10^{-2}=1{,}333\ldots\times10^{-3}.
Portanto, numericamente:
B(r)=1{,}333\times10^{-3}\; r\quad(\mathrm{T}),
onde r está em metros. Por exemplo, em r=R=0{,}03\\ \mathrm{m}:
B(R)=1{,}333\times10^{-3}\times0{,}03=4{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{T}=40\\ \mu\mathrm{T}.

Passo 6

Aplicar a Lei de Ampère para r>R (fora do condutor).
  • Para r>R toda a corrente I está dentro do laço amperiano, logo I_{\text{enc}}=I.
  • A integral de linha é novamente B(r)\cdot 2\pi r. Pela Lei de Ampère:
B(r)\cdot(2\pi r)=\mu_0 I.
  • Assim
B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\qquad\text{para } r>R.
Didaticamente: fora do fio o campo magnético decai como 1/r, característica de linhas circulares de corrente total I.

Passo 7

Expressão numérica para a parte externa e exemplo numérico.
  • O coeficiente \dfrac{\mu_0 I}{2\pi} já foi calculado parcialmente no passo anterior: \dfrac{\mu_0 I}{2\pi}=1{,}2\times10^{-6}.
  • Portanto
B(r)=\frac{1{,}2\times10^{-6}}{r}\quad(\mathrm{T}),\qquad r\\ \text{em metros}.
  • Verificação em r=R=0{,}03\\ \mathrm{m}:
B(R)=\frac{1{,}2\times10^{-6}}{0{,}03}=4{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{T},
o que coincide com o valor obtido pela expressão interna — bom sinal: B é contínuo em r=R.

Passo 8

Direção do campo magnético (regra prática e linguagem simples).
  • A direção de \mathbf{B} é azimutal (tangente aos círculos concêntricos) em torno do eixo do cilindro.
  • A orientação exata (sentido horário ou anti-horário) é obtida pela regra da mão-direita: apontando o polegar na direção da corrente (ao longo do eixo), os dedos indicam o sentido de \mathbf{B}.
  • Em notação vetorial: \mathbf{B}(r)=B(r)\,\hat{\varphi}, onde \hat{\varphi} é o versor azimutal (tangente ao círculo).

Passo 9

Esboço qualitativo do gráfico B\times r e interpretação (descrição para desenhar na prova).
  • Para 0\le r\le R: B(r) cresce linearmente com r. Logo no gráfico B versus r é uma reta passando pela origem até r=R.
  • Para r\ge R: B(r) decresce com 1/r. Então, após r=R, o gráfico curva para baixo e cai à medida que r aumenta.
  • Valor máximo (local) ocorre em r=R (no contorno): B(R)=4{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
  • Pontos para plotar se quiser: B(0)=0, B(R)=4{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{T}, e por exemplo em r=2R=0{,}06\\ \mathrm{m},
B(2R)=\frac{1{,}2\times10^{-6}}{0{,}06}=2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
  • Dica prática para desenhar: traçar uma reta subindo desde a origem até (R,4{,}0\times10^{-5}), depois continuar por uma curva que decresce suavemente como 1/r para r>R.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{B}(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi R^2}\,r\;\hat{\varphi} \quad\text{para } r<R.\n
(b) \displaystyle \mathbf{B}(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\;\hat{\varphi} \quad\text{para } r>R.\n
(c) Gráfico qualitativo: B(r) cresce linearmente com r para 0\le r\le R (reta até B(R)=4{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{T}) e, para r>R, B(r) decresce como 1/r (curva que tende a zero quando r\to\infty).

Exercícios relacionados