Um condutor cilíndrico maciço de raio
conduz uma corrente total
uniformemente distribuída.
a) Determine o campo magnético para
.
b) Determine o campo magnético para
.
c) Esboce qualitativamente o gráfico
.
a) Determine o campo magnético para
b) Determine o campo magnético para
c) Esboce qualitativamente o gráfico
Passo 1
O enunciado dá um condutor cilíndrico maciço de raio
que conduz uma corrente total
uniformemente distribuída. Pede-se:
- (a) o campo magnético
para (pontos dentro do condutor, à distância do eixo); - (b) o campo magnético
para (fora do condutor); - (c) um esboço qualitativo do gráfico
.
Informações relevantes dadas:
- Raio do condutor:
(peguei do enunciado). - Corrente total:
(peguei do enunciado). - A corrente está uniformemente distribuída no volume transversal do cilindro (ou seja, densidade de corrente constante).
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicando a ideia de forma simples).
- Quando há simetria cilíndrica (condutor longo e corrente distribuída uniformemente), é muito eficiente usar a Lei de Ampère, porque o campo magnético terá simetria circular ao redor do eixo:
é tangente a círculos concêntricos e depende só de . - A Lei de Ampère, em sua forma integral, é:
onde
é a corrente atravessando a superfície limitada pelo contorno
, e
é a permeabilidade do vácuo (
).
- Escolhemos uma curva amperiana circular de raio
, coaxial ao condutor, porque aí tem módulo constante ao longo da curva e é tangente: .
Passo 3
Expressar a densidade de corrente e a corrente encerrada (parte didática sobre densidade de corrente).
- Como a corrente está uniformemente distribuída na secção circular de raio
, a densidade de corrente (magnitude) é a corrente por unidade de área:
Aqui
tem unidades
. Significado: em qualquer pedaço de área transversal
dentro do cilindro a corrente que passa por essa área é
.
- Para um raio amperiano
(dentro do condutor), a área interior até é . Assim a corrente encerrada por essa ampereana é
Explicando em palavras: dentro do condutor a corrente cresce com a área proporcional a
.
Passo 4
Aplicar a Lei de Ampère para
(cálculo passo a passo).
- A integral de linha num círculo de raio
dá
porque o comprimento do círculo é
e
é constante ao longo dele.
- Pela Lei de Ampère:
- Substituindo
:
- Isolando
:
Comentário didático: essa expressão mostra que, dentro do fio,
cresce linearmente com
(porque mais corrente está “encerrada” quando o raio do laço aumenta).
Passo 5
Colocar a expressão numérica para a parte interna e exemplificar (converter unidades e avaliar coeficiente).
- Primeiro converte-se
para metros: . - Calcular o coeficiente
:
Simplificando passo a passo:
Agora dividir por
:
Portanto, numericamente:
onde
está em metros. Por exemplo, em
:
Passo 6
Aplicar a Lei de Ampère para
(fora do condutor).
- Para
toda a corrente está dentro do laço amperiano, logo . - A integral de linha é novamente
. Pela Lei de Ampère:
- Assim
Didaticamente: fora do fio o campo magnético decai como
, característica de linhas circulares de corrente total
.
Passo 7
Expressão numérica para a parte externa e exemplo numérico.
- O coeficiente
já foi calculado parcialmente no passo anterior: . - Portanto
- Verificação em
:
o que coincide com o valor obtido pela expressão interna — bom sinal:
é contínuo em
.
Passo 8
Direção do campo magnético (regra prática e linguagem simples).
- A direção de
é azimutal (tangente aos círculos concêntricos) em torno do eixo do cilindro. - A orientação exata (sentido horário ou anti-horário) é obtida pela regra da mão-direita: apontando o polegar na direção da corrente (ao longo do eixo), os dedos indicam o sentido de
. - Em notação vetorial:
, onde é o versor azimutal (tangente ao círculo).
Passo 9
Esboço qualitativo do gráfico
e interpretação (descrição para desenhar na prova).
- Para
: cresce linearmente com . Logo no gráfico versus é uma reta passando pela origem até . - Para
: decresce com . Então, após , o gráfico curva para baixo e cai à medida que aumenta. - Valor máximo (local) ocorre em
(no contorno): . - Pontos para plotar se quiser:
, , e por exemplo em ,
- Dica prática para desenhar: traçar uma reta subindo desde a origem até
, depois continuar por uma curva que decresce suavemente como para .
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) Gráfico qualitativo: cresce linearmente com
para
(reta até
) e, para
,
decresce como
(curva que tende a zero quando
).
(b)
(c) Gráfico qualitativo: