Dois fios longos e paralelos, separados por 5,0 \mathrm{~cm}, conduzem correntes de 4,0 \mathrm{~A} e 6,0 \mathrm{~A} no mesmo sentido.
a) Calcule a força magnética por unidade de comprimento entre os fios.
b) Diga se a força é atrativa ou repulsiva e explique o motivo físico.

Passo 1

O enunciado dá dois fios longos e paralelos, separados por 5,0\\ \mathrm{cm}, que conduzem correntes no mesmo sentido: I_1=4,0\\ \mathrm{A} e I_2=6,0\\ \mathrm{A}. Pede:
(a) calcular a força magnética por unidade de comprimento entre os fios;
(b) dizer se a força é atrativa ou repulsiva e explicar o motivo físico.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Separação entre os fios: d=5,0\\ \mathrm{cm}=0,050\\ \mathrm{m}.
  • Correntes: I_1=4,0\\ \mathrm{A} e I_2=6,0\\ \mathrm{A}.
  • Os fios são longos e paralelos (situação ideal para usar as fórmulas padrão para fios longos).

Passo 2

Vamos recordar a fórmula do campo magnético criado por um fio longo e retilíneo. Para um fio muito longo com corrente I, o campo magnético a uma distância r do fio tem intensidade dada por (essa é uma fórmula padrão derivada usando a Lei de Ampère ou a Lei de Biot–Savart):
B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},
onde \mu_0 é a permeabilidade magnética do vácuo, com valor
\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
Aqui:
  • B(r) é o módulo do campo magnético no ponto a distância r do fio;
  • I é a corrente do fio que gera o campo;
  • r é a distância do fio até o ponto onde se calcula B.
Essa fórmula diz que o campo circunda o fio em círculos concêntricos e decai como 1/r.

Passo 3

Agora, a força magnética sobre um elemento de fio que conduz corrente I imerso num campo magnético \vec{B} é dada pela lei de Laplace (ou força sobre um fio):
d\vec{F}=I\,d\vec{\ell}\times\vec{B}.
Para um fio retilíneo de comprimento L onde I é constante e \vec{B} é aproximadamente constante ao longo do comprimento considerado, a força total tem módulo
F=I\,L\,B\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre o sentido do corrente e a direção do campo. No caso de fios paralelos e correntes ao longo do mesmo eixo (por exemplo, ambos para cima), o campo produzido pelo primeiro fio no local do segundo é perpendicular ao fio, então \sin\theta=1. Assim a força por unidade de comprimento (dividindo por L) que o fio 1 exerce sobre o fio 2 é
\frac{F}{L}=I_2 B_1(d),
onde B_1(d) é o campo produzido pelo fio 1 na posição do fio 2, a distância d dele. Substituindo a expressão de B_1(d):
\frac{F}{L}=I_2\cdot\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}.
Esta é a fórmula padrão da força por unidade de comprimento entre dois fios longos e paralelos.

Passo 4

Agora vamos aplicar a fórmula com os números dados. Primeiro escrevo a fórmula de forma direta:
\frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}.
Substituindo \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}, I_1=4,0\\ \mathrm{A}, I_2=6,0\\ \mathrm{A} e d=0,050\\ \mathrm{m}:
\frac{F}{L}=\frac{(4\pi\times10^{-7})\cdot(4,0)\cdot(6,0)}{2\pi\cdot0,050}\\ \mathrm{N/m}.

Passo 5

Simplifico a expressão passo a passo:
Primeiro cancelei um fator \pi entre numerador e denominador:
\frac{F}{L}=\frac{4\times10^{-7}\cdot(4,0)\cdot(6,0)}{2\cdot0,050}\\ \mathrm{N/m}.
Agora 4/(2)=2, então:
\frac{F}{L}=\frac{2\times10^{-7}\cdot(4,0)\cdot(6,0)}{0,050}\\ \mathrm{N/m}.
Multiplico as correntes:
(4,0)\cdot(6,0)=24.
Logo:
\frac{F}{L}=\frac{2\times10^{-7}\cdot24}{0,050}\\ \mathrm{N/m}.
Calculo o numerador: 2\times24=48, então 48\times10^{-7}=4,8\times10^{-6}. Assim
\frac{F}{L}=\frac{4,8\times10^{-6}}{0,050}\\ \mathrm{N/m}.
Dividindo por 0,050 é multiplicar por 20:
\frac{F}{L}=4,8\times10^{-6}\times20=9,6\times10^{-5}\\ \mathrm{N/m}.

Passo 6

Interpretação do sinal e direção (atrativa ou repulsiva). Quando as correntes têm o mesmo sentido, a força entre fios é atrativa. Explicação física (passo a passo, sem jargões pesados):
  • O fio 1 cria um campo magnético ao redor de si que faz linhas circulares (imagine círculos em torno do fio).
  • No local do fio 2 esse campo tem direção perpendicular ao fio e um sentido dado pela regra da mão direita (se a corrente do fio 1 sobe, o campo circula no sentido que a mão direita indica).
  • As cargas que compõem a corrente no fio 2 se movem dentro desse campo e sentem uma força magnética lateral que aponta para o fio 1 (isso vem do produto vetorial d\vec{\ell}\times\vec{B}).
  • A mesma argumentação vale trocando os papéis dos fios: cada fio sente uma força em direção ao outro. Portanto, a interação resulta em atração quando as correntes são paralelas no mesmo sentido.
    Uma outra intuição: correntes no mesmo sentido correspondem a campos que fazem com que as linhas de fluxo entre os fios tenham menor densidade de energia, e o sistema tende a reduzir energia atraindo os fios — mas a explicação básica com o produto vetorial é suficiente para a prova.

Passo 7

Resumo dos resultados numéricos e significado prático: a força por unidade de comprimento é muito pequena, 9,6\times10^{-5}\\ \mathrm{N/m}. Isso quer dizer que dois fios com um metro de comprimento se puxariam com uma força de cerca de 9,6\times10^{-5}\\ \mathrm{N}, bem fraca — por isso em situações práticas é preciso correntes grandes ou fios muito próximos para obter forças apreciáveis.

Resposta

(a) \dfrac{F}{L}=9,6\times10^{-5}\\ \mathrm{N/m}
(b) Atrativa.

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