Uma espira em forma de retângulo, de lados 2 a e 2 b, transporta uma corrente de intensidade I.
a) Calcule a magnitude do campo magnético no centro do retângulo.
b) Tome o limite do resultado do item anterior para a gg b. Interprete.

Passo 1

O enunciado descreve uma espira retangular de lados 2a (horizontal) e 2b (vertical) que transporta corrente I. Queremos calcular o módulo do campo magnético no centro do retângulo. Para isso, vamos usar a expressão do campo de um fio retilíneo finito a uma distância d, dada por
B = mu0 I4pi dl(sintheta1+sintheta2r),
onde theta1 e theta2 são os ângulos que os extremos do fio subtendem no ponto considerado.

Passo 2

Calculemos o campo devido a um dos lados horizontais de comprimento 2a, situado a distância d=b do centro. Os extremos desse fio, vistos do centro, formam ângulos theta1=theta2=theta, com
tantheta = ab Longrightarrow sintheta = araiza^2+b^2
Logo, para esse lado
Bh = mu0 I4pi,bl(sintheta+sinthetar) = mu0 I2pi,b,araiza^2+b^2

Passo 3

Temos dois lados horizontais, cada um produzindo o mesmo Bh saindo perpendicular ao plano, e dois lados verticais de comprimento 2b a distância d=a. Pelo mesmo raciocínio,
Bv = mu0 I2pi,a,braiza^2+b^2
Somando as quatro contribuições (as duas horizontais e as duas verticais),
B = 2Bh + 2Bv = mu0 Ipiraiza^2+b^2l(a^2+b^2abr) = mu0 I,raiza^2+b^2pi,a,b

Passo 4

Agora tomamos o limite agg b. Nesse caso raiza^2+b^2approx a, logo
B approx mu0 I,api,a,b = mu0 Ipi,b
Física-mente, isso mostra que, quando a é muito grande, os lados verticais do retângulo atuam como dois fios retilíneos infinitos a distancia b, e as contribuições dos lados horizontais tornam-se desprezíveis.

Resposta

a) B = mu0 I,raiza^2+b^2pi,a,b
b) Para agg b, Bapprox mu0 Ipi,b, mostrando que o loop se comporta como dois fios infinitos verticais.

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