Exercício 3: Suponha um disco de raio R e espessura desprezível, depositado sobre o plano x y, com centro no eixo z, com uma densidade superficial sigma constante de cargas.
(a) Qual a carga total Q do disco?
(b) Por integração direta, determine o potencial elétrico para uma dada distância do disco sobre o eixo z.
(c) Determine o vetor campo elétrico referente ao potencial encontrado no item anterior.

Passo 1

O enunciado descreve um disco de raio R e espessura desprezível, depositado no plano xy e centrado no eixo z, com densidade superficial de carga constante sigma.
Conteúdo: eletrostática de distribuições contínuas. Vamos usar a Lei de Coulomb em sua forma de potencial
V( r)=14piepsilon0integral dupla sigma,dA| r- r'|,
e depois derivar para obter o campo elétrico E=-nabla V.

Passo 2

Para determinar a carga total Q do disco usamos
Q=integral dupladiscosigma,dA
em coordenadas polares no plano xy, onde dA=r,dr,dtheta. Assim,
Q=integral0^2pi!!integral0^Rsigma,r,dr,dtheta =sigma,(2pi)integral0^Rr,dr =sigma,2pi[r^22]0^R =sigma,pi R^2

Passo 3

Para o potencial numa altura z sobre o centro do disco, escolhemos um elemento anelar de raio r e espessura dr. A carga desse anel é
dq=sigma,(2pi r,dr)
A distância de qualquer ponto do anel ao ponto sobre o eixo é raizr^2+z^2, então o potencial gerado por esse anel vale
dV =14piepsilon0,dqraizr^2+z^2 =14piepsilon0,sigma,2pi r,drraizr^2+z^2 =sigma2epsilon0,r,drraizr^2+z^2

Passo 4

Integramos dV de r=0 até r=R:
V(z) =integral0^Rsigma2epsilon0,r,drraizr^2+z^2 =sigma2epsilon0l[raizr^2+z^2r]0^R =sigma2epsilon0l(raizR^2+z^2-zr)

Passo 5

O campo elétrico no eixo é E=-dfracdVdz, ez. Calculando a derivada:
dVdz =sigma2epsilon0l(zraizR^2+z^2-1r),
portanto
Ez =-dVdz =sigma2epsilon0l(1-zraizR^2+z^2r)
Como o campo aponta no sentido ez para z>0, temos
E(z) =Ez, ez =sigma2epsilon0l(1-zraizR^2+z^2r) ez

Resposta

(a) Q=sigma,pi R^2
(b) V(z)=sigma2epsilon0l(raizR^2+z^2-zr)
(c) E(z)=sigma2epsilon0l(1-zraizR^2+z^2r) ez

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