O balanço de um relógio antigo oscila com uma amplitude angular de theta0 e um período de T. Determine:
(a) a velocidade angular máxima do balanço,
(b) a velocidade angular no momento em que o deslocamento é theta0 / 2,
(c) o módulo da aceleração angular no momento em que o deslocamento é theta0 / 4.

Passo 1

Resumindo, o pêndulo do relógio faz um movimento harmônico simples com amplitude angular theta0 e período T. Para descrever esse movimento, definimos a frequência angular
omega = 2piT
e a posição angular genérica
theta(t) = theta0cos(omega t),
Vamos usar as fórmulas de derivadas para encontrar (a) a velocidade angular máxima, (b) a velocidade angular quando theta=theta0/2 e (c) o módulo da aceleração angular quando theta=theta0/4.

Passo 2

A velocidade angular é a derivada de theta(t):
omega!ang(t) = dthetadt = -,theta0,omega;sin(omega t),
O valor máximo de |omega!ang| ocorre quando |sin(omega t)|=1. Logo,
max|omega!ang| = theta0,omega = theta0,2piT,

Passo 3

Para achar omega!ang no instante em que theta=theta0/2, usamos
cos(omega t)=thetatheta0=12 Longrightarrow sin^2(omega t)=1-cos^2(omega t)=1-l(tfrac12r)^2=tfrac34
Então
|omega!ang| = theta0,omega,l|sin(omega t)r| = theta0,2piT,raiztfrac34 = theta0,2piT,raiz32 = theta0,piraiz3T,

Passo 4

A aceleração angular é a segunda derivada:
alpha(t)=d^2thetadt^2=-,theta0,omega^2cos(omega t)=-omega^2,theta(t)
No instante em que theta=theta0/4, o módulo é
|alpha| = omega^2,l|thetar| = l(2piTr)^2,theta04 = 4pi^2T^2;theta04 = pi^2,theta0T^2,

Resposta

(a) max|omega!ang| = theta0,2piT
(b) |omega!ang|theta=theta0/2 = theta0,piraiz3T
(c) |alpha|theta=theta0/4 = pi^2,theta0T^2

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