Para uma espira em movimento em um campo magnético variável no tempo, tem-se a fem total. Ele é obtida combinando as equações da fem de transformador e da fem de movimento. Logo,
V fem =ointL Em cdot d l=-integrals partial Bpartial t cdot d S+ointL(u times B) cdot d l
A forma diferencial da equação anterior é:
nabla times E=-partial Bpartial t+nabla times(u times B)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que, para uma espira que se move num campo magnético que varia no tempo, a fem total é dada por
Vrm fem=ointLvec Em!cdot dvec l ;=;-,integralSpartialvec Bpartial t!cdot dvec S ;+;ointL(vec utimesvec B)!cdot dvec l
e que a forma diferencial dessa lei é
nablatimesvec E ;=; -,partialvec Bpartial t;+;nablatimes(vec utimesvec B),
Conteúdo: Eletromagnetismo – lei de Faraday para circuitos móveis + Teorema de Stokes.
O que vamos precisar:
  1. Teorema de Stokes para passar integral de linha a integral de superfície.
  2. Identificar que o campo elétrico “efetivo” na integral é o , que chamamos aqui só de para não complicar.

Passo 2

Aplicar o Teorema de Stokes ao lado esquerdo da expressão integral.
Stokes diz:
ointLvec Ecdot dvec l ;=;integralS(nablatimesvec E)cdot dvec S
Então nossa equação fica
integralS(nablatimesvec E)cdot dvec S ;=; -,integralSpartialvec Bpartial tcdot dvec S ;+; ointL(vec utimesvec B)cdot dvec l

Passo 3

Agora aplica Stokes também no segundo termo da direita, que é a integral de linha de ointL(vec utimesvec B)cdot dvec l ;=; integralSnablatimes(vec utimesvec B);cdot dvec S :
integralS(nablatimesvec E)cdot dvec S ;=; -,integralSpartialvec Bpartial tcdot dvec S ;+; integralSnablatimes(vec utimesvec B)cdot dvec S
Substituindo na equação do Passo 2 dá

Passo 4

Juntamos tudo num único integral sobre a mesma superfície integralSl(nablatimesvec E ;+;partialvec Bpartial t ;-;nablatimes(vec utimesvec B)r)!cdot dvec S ;=;0 :
Como a superfície é arbitrária, o integrando deve ser zero em cada ponto:
\nabla\times\vec E
;+;\frac{\partial\vec B}{\partial t}
;-;\nabla\times(\vec u\times\vec B)
;=;0.

Resposta

boxed nablatimesvec E ;=; -,partialvec Bpartial t ;+; nablatimes(vec utimesvec B)

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