Uma espira plana circular de raio \mathrm{r}=2 \mathrm{~cm} consistindo de uma única volta de fio é perpendicular a um campo magnético que aumenta uniformemente em módulo de 0,5 \mathrm{~T} para 2,5 \mathrm{Tem} 4,0 \mathrm{~s}. Qual a corrente induzida resultante se a espira tiver resistência de 0,5 \Omega ?

Passo 1

O enunciado pede a corrente induzida resultante numa espira circular de uma volta quando o campo magnético perpendicular à espira varia. Dados fornecidos:
r=2\\ \text{cm}=0{,}02\\ \text{m},
B_{\text{inicial}}=0{,}5\\ \text{T},
B_{\text{final}}=2{,}5\\ \text{T},
\Delta t=4{,}0\\ \text{s},
R=0{,}5\\ \Omega.
Queremos a corrente induzida resultante I (módulo e, se necessário, o sentido aplicando a lei de Lenz).

Passo 2

Primeiro vou converter o raio para metros (já feito no passo anterior) e calcular a área da espira, porque o fluxo magnético atravessando a espira envolve a área. A área de um círculo de raio r é dada por
A=\pi r^{2},
onde r é o raio em metros e A tem unidades de metros quadrados. Substituindo r=0{,}02\\ \text{m}:
A=\pi(0{,}02)^{2}=\pi\cdot0{,}0004=0{,}0004\pi\\ \text{m}^{2}.

Passo 3

A variação do campo magnético é uniforme de B_{\text{inicial}} para B_{\text{final}}. O que nos interessa para a força eletromotriz induzida é a taxa de variação do campo, isto é \dfrac{dB}{dt}. Como a variação é uniforme:
\frac{dB}{dt}=\frac{\Delta B}{\Delta t}=\frac{B_{\text{final}}-B_{\text{inicial}}}{\Delta t}=\frac{2{,}5-0{,}5}{4{,}0}=\frac{2{,}0}{4{,}0}=0{,}5\\ \text{T/s}.
Aqui \Delta B é a diferença de intensidade do campo magnético e \Delta t o intervalo de tempo.

Passo 4

Agora uso a Lei de Faraday para a força eletromotriz (f.e.m.) induzida numa espira. A lei diz, em módulo,
\mathcal{E}=\left|\frac{d\Phi}{dt}\right|,
onde \Phi é o fluxo magnético através da espira. Para uma espira plana perpendicular ao campo, o fluxo é \Phi=BA (pois o cosseno do ângulo é 1). Como A é constante,
\frac{d\Phi}{dt}=A\frac{dB}{dt}.
Portanto, a f.e.m. em módulo vale
\mathcal{E}=A\left|\frac{dB}{dt}\right|.

Passo 5

Substituo os valores já calculados:
\mathcal{E}=0{,}0004\pi\cdot0{,}5=0{,}0002\pi\\ \text{V}.
Se quiser uma aproximação numérica, usando \pi\approx3{,}1416,
\mathcal{E}\approx0{,}0002\times3{,}1416\approx0{,}0006283\\ \text{V}.

Passo 6

A corrente induzida é dada pela Lei de Ohm aplicada à f.e.m. induzida (a espira tem resistência R):
I=\frac{\mathcal{E}}{R}.
Substituindo \mathcal{E}=0{,}0002\pi\\ \text{V} e R=0{,}5\\ \Omega,
I=\frac{0{,}0002\pi}{0{,}5}=0{,}0004\pi\\ \text{A}.
Numericamente,
I\approx0{,}0004\times3{,}1416\approx0{,}0012566\\ \text{A}=1{,}2566\times10^{-3}\\ \text{A}\approx1{,}26\\ \text{mA}.

Passo 7

Interpretação do sentido (lei de Lenz): como o campo magnético que atravessa a espira está aumentando, a corrente induzida terá sentido tal que o campo magnético criado por ela se oponha a esse aumento. Não foi dado explicitamente se o campo externo aponta para dentro ou para fora da página, mas o princípio é esse: sentido da corrente que gera campo oposto ao aumento de B.

Resposta

I=1{,}26\times10^{-3}\\ \mathrm{A}

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