Um solenoide longo é formado por cinco camadas cerradas, cada uma com 2000 espiras/m e conduz uma corrente i. Um elétron se move no interior do solenoide em uma circunferência de 2,30 \mathrm{~cm} de raio perpendicular ao eixo do solenoide com uma velocidade de módulo 1,38 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a corrente i no solenoide.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a corrente i no solenoide. Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
  • O solenoide tem cinco camadas fechadas, cada uma com 2000 espiras por metro.
  • Um elétron descreve uma circunferência de raio 2,30\\ \mathrm{cm} perpendicular ao eixo do solenoide.
  • A velocidade do elétron tem módulo 1,38\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
  • Precisamos usar a relação entre o campo magnético no interior do solenoide e a corrente para obter i, e a condição de que a força magnética sobre o elétron fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.

Passo 2

Entendendo a física que vamos usar (aula rapidinha e prática):
  • Campo magnético dentro de um solenoide longo e com enrolamento compacto: B = \mu_{0}\,n\,i,
onde:
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo ( \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}),
  • n é o número total de espiras por unidade de comprimento (espiras por metro),
  • i é a corrente no fio do solenoide.
    Essa fórmula significa que quanto mais espiras por metro e quanto maior a corrente, maior o campo dentro do solenoide.

Passo 3

Força magnética sobre uma carga em movimento:
  • Um elétron com carga (módulo) e e velocidade perpendicular ao campo magnético sofre uma força de módulo F_{B}=e\,v\,B,
onde:
  • e é a carga do elétron ( e=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}),
  • v é a velocidade do elétron,
  • B é o campo magnético.
  • Para que o elétron descreva uma circunferência de raio r, essa força magnética fornece a força centrípeta: F_{c}=\frac{m\,v^{2}}{r},
onde m é a massa do elétron ( m=9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}).

Passo 4

Relacionando as duas forças e isolando B:
  • Igualamos a força magnética à centrípeta: e\,v\,B=\frac{m\,v^{2}}{r}.
  • Simplificando (dividindo por v, assumindo v\neq0) obtemos a expressão para o campo requerido: B=\frac{m\,v}{e\,r}.
Essa é a B mínima (em módulo) necessária para manter o elétron na trajetória circular dada.

Passo 5

Calculando numericamente o campo B usando os dados:
  • Converter o raio para metros: r=2,30\\ \mathrm{cm}=0,0230\\ \mathrm{m}.
  • Usar v=1,38\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}, m=9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}, e=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Substituindo em B=\frac{m\,v}{e\,r}
fazemos a conta:
B=\frac{(9,10938356\times10^{-31})\,(1,38\times10^{7})}{(1,602176634\times10^{-19})\,(0,0230)}.
Agora calculamos passo a passo (valores aproximados):
\text{numerador}=(9,10938356\times10^{-31})(1,38\times10^{7})\approx1,2571\times10^{-23},
\text{denominador}=(1,602176634\times10^{-19})(0,0230)\approx3,6850\times10^{-21},
B\approx\frac{1,2571\times10^{-23}}{3,6850\times10^{-21}}\approx3,41\times10^{-3}\\ \mathrm{T}.

Passo 6

Determinar n (espiras por metro total) do solenoide:
  • Cada camada tem 2000 espiras/m e há 5 camadas, logo n = 5\times2000 = 10000\\ \mathrm{espiras/m}.

Passo 7

Relacionar B e i para achar a corrente:
  • Usamos B=\mu_{0}\,n\,i \quad\Rightarrow\quad i=\frac{B}{\mu_{0}\,n}.
  • Substituindo \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}, n=10000\\ \mathrm{m^{-1}} e B\approx3,41\times10^{-3}\\ \mathrm{T}:
i=\frac{3,41\times10^{-3}}{(4\pi\times10^{-7})\,(10000)}.
  • Calculemos \mu_{0}\,n=(4\pi\times10^{-7})(10000)=4\pi\times10^{-3}\approx1,25663706\times10^{-2}.
  • Assim,
i\approx\frac{3,41\times10^{-3}}{1,25663706\times10^{-2}}\approx0,272\\ \mathrm{A}.

Passo 8

Verificação rápida de ordem de grandeza e sinal:
  • O valor obtido é da ordem de 10^{-1}\\ \mathrm{A}, razoável para um solenoide pequeno com muitas espiras por metro.
  • Não precisamos nos preocupar com o sinal do elétron: usamos os módulos das quantidades, porque a equação de movimento circular envolve a magnitude da força; o sinal apenas determina a direção do giro.

Resposta

i=0,272\\ \mathrm{A}

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