Um solenoide longo é formado por cinco camadas cerradas, cada uma com 2000 espiras/m e conduz uma corrente i. Um elétron se move no interior do solenoide em uma circunferência de
de raio perpendicular ao eixo do solenoide com uma velocidade de módulo
. Determine a corrente i no solenoide.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a corrente
no solenoide. Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
- O solenoide tem cinco camadas fechadas, cada uma com
espiras por metro. - Um elétron descreve uma circunferência de raio
perpendicular ao eixo do solenoide. - A velocidade do elétron tem módulo
. - Precisamos usar a relação entre o campo magnético no interior do solenoide e a corrente para obter
, e a condição de que a força magnética sobre o elétron fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.
Passo 2
Entendendo a física que vamos usar (aula rapidinha e prática):
- Campo magnético dentro de um solenoide longo e com enrolamento compacto:
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo ( ), -
é o número total de espiras por unidade de comprimento (espiras por metro), -
é a corrente no fio do solenoide.
Essa fórmula significa que quanto mais espiras por metro e quanto maior a corrente, maior o campo dentro do solenoide.
Passo 3
Força magnética sobre uma carga em movimento:
- Um elétron com carga (módulo)
e velocidade perpendicular ao campo magnético sofre uma força de módulo
onde:
-
é a carga do elétron ( ), -
é a velocidade do elétron, -
é o campo magnético. - Para que o elétron descreva uma circunferência de raio
, essa força magnética fornece a força centrípeta:
onde
é a massa do elétron (
).
Passo 4
Relacionando as duas forças e isolando
:
- Igualamos a força magnética à centrípeta:
- Simplificando (dividindo por
, assumindo ) obtemos a expressão para o campo requerido:
Essa é a B mínima (em módulo) necessária para manter o elétron na trajetória circular dada.
Passo 5
Calculando numericamente o campo
usando os dados:
- Converter o raio para metros:
. - Usar
, , . - Substituindo em
fazemos a conta:
Agora calculamos passo a passo (valores aproximados):
Passo 6
Determinar
(espiras por metro total) do solenoide:
- Cada camada tem
espiras/m e há camadas, logo
Passo 7
Relacionar
e
para achar a corrente:
- Usamos
- Substituindo
, e :
- Calculemos
. - Assim,
Passo 8
Verificação rápida de ordem de grandeza e sinal:
- O valor obtido é da ordem de
, razoável para um solenoide pequeno com muitas espiras por metro. - Não precisamos nos preocupar com o sinal do elétron: usamos os módulos das quantidades, porque a equação de movimento circular envolve a magnitude da força; o sinal apenas determina a direção do giro.