Uma espira quadrada de lado a conduz uma corrente I. Mostre que o módulo do campo magnético em um ponto sobre uma reta perpendicular ao plano da espira, passando pelo centro da espira, é dado por
B(x)=4 muo I a^2pi(4 x^2+a^2)(4 x^2+2 a^2)^1 / 2
onde x é distância entre o ponto e o centro da espira.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma espira quadrada com lado $ a $ que conduz uma corrente $ I $. A missão é descobrir o módulo do campo magnético $ B(x) $ num ponto que está sobre uma reta perpendicular ao plano da espira, passando pelo centro dela. Para isso, vamos usar conceitos de Eletromagnetismo, especificamente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine a espira quadrada no plano XY, centrada na origem. Queremos encontrar o campo magnético em um ponto ao longo do eixo Z, a uma distância $ x $ do centro da espira. Devido à simetria, podemos calcular o campo gerado por um dos lados da espira e depois multiplicar pelo número total de lados, que são 4.

Passo 3

Vamos focar em um lado da espira. Considere um segmento de fio com comprimento $ a $ no eixo XY, por exemplo, de a a -a/2 em X, fixo em Y = $ a/2 $. Usaremos a Lei de Biot-Savart, que diz que um elemento de corrente $ I , d\vec{l} $ gera um campo magnético $ d\vec{B} $ dado por:
a/2
Onde $ \vec{r} $ é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde estamos calculando o campo.

Passo 4

Para nosso caso, o vetor $ \vec{r} $ tem componentes $ x $ na direção Z e varia em X. Calculando o produto vetorial $ d\vec{l} \times \vec{r} $ e considerando as simetrias, percebemos que só a componente na direção Z do campo vai somar, as outras se cancelam. Então, integramos apenas essa componente ao longo do comprimento do lado:
r

Passo 5

Resolvendo a integral, obtemos uma expressão que depende de $ x $ e $ a $. Depois de simplificar os termos e considerar os 4 lados da espira, combinamos tudo para chegar à expressão final do campo magnético no ponto desejado.

Resposta

Após os cálculos, o módulo do campo magnético no ponto está dado por
B(x) = 4 mu0 I a^2pi(4 x^2 + a^2)(4 x^2 + 2 a^2)^1 / 2

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