Um fio longo em forma de casca cilíndrica de raio interno a e externo b conduz uma corrente dada pela densidade J=alpha / r, onde alpha é uma constante e r é a distância ao eixo central. No centro desta casca existe um fio cilíndrico longo e fino que conduz uma corrente I. b) Calcule o módulo deste campo. (Resp. a) alpha=I / 2 pi a b) B=muo I / 2 pi a )

Passo 1

Então, temos aqui um fio longo em forma de casca cilíndrica com raio interno $ a $ e externo $ b $ que conduz uma corrente com densidade $ J = \frac{\alpha}{r} $. No centro dessa casca, tem um fio bem fino que também conduz uma corrente $ I $. Vamos calcular o módulo do campo magnético nesse ponto central. Para isso, vamos usar a Lei de Ampère, que nos ajuda a relacionar a corrente elétrica com o campo magnético ao redor dela.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Ela diz que a circulação do campo magnético $ \mathbf{B} $ ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade do vácuo $ \mu_0 $ multiplicada pela corrente total $ I_{total} $ que passa pelo interior desse caminho. Matematicamente, fica assim:
B
Essa relação vai nos ajudar a encontrar o campo magnético desejado.

Passo 3

Vamos escolher um caminho circular ao redor do eixo central, com raio $ r $, onde $ r < a $. Nesse caso, apenas a corrente do fio central $ I $ está dentro do caminho. A corrente na casca externa não contribui para o campo dentro dela. Então, temos:
r

Passo 4

Agora, como o campo magnético $ \mathbf{B} $ é constante em magnitude e tangente ao caminho escolhido (devido à simetria cilíndrica), a integral se simplifica. A circulação se torna:
B
Aqui, $ 2\pi r $ é o comprimento do caminho circular.

Passo 5

Vamos resolver para $ B $:
B
Mas como estamos calculando o campo no centro, onde $ r = a $, substituímos:
B = mu0 I2pi r

Resposta

O módulo do campo magnético no centro é $ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} $.

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