Usando a Lei de Gauss, determine o campo elétrico próximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga \lambda.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o campo elétrico próximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga \lambda.
Informações dadas e o que se quer encontrar:
  • A barra é “muito longa” (modelo ideal: comprimento muito maior que as distâncias de interesse; para fins práticos tratamos como barra infinita).
  • A barra possui densidade linear de carga \lambda (carga por unidade de comprimento).
  • Procuramos o campo elétrico \mathbf{E} em um ponto a uma distância radial r do eixo da barra (ou seja, r é a distância perpendicular à barra).
  • Assumiremos espaço livre com permissividade \epsilon_0.
    O objetivo final: obter uma expressão para o módulo e direção de \mathbf{E} como função de r.

Passo 2

Apresentando a ferramenta principal — Lei de Gauss. A Lei de Gauss em sua forma integral é:
\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\rm int}}{\epsilon_0}.
Explanação das parcelas:
  • \oint_{\partial V} indica integral de superfície sobre a superfície fechada que limita um volume V.
  • \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da superfície.
  • d\mathbf{A} é o vetor elemento de área da superfície (magnitude igual à área do elemento, direção normal à superfície, apontando para fora).
  • Q_{\rm int} é a carga total contida dentro do volume V.
  • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo.
    Intuição: a lei relaciona o fluxo total do campo elétrico saindo de uma superfície fechada com a carga dentro dela.

Passo 3

Análise de simetria — por que escolher um certo tipo de superfície Gaussiana.
  • Uma barra muito longa (idealmente infinita) tem simetria cilíndrica: deslocamentos ao longo do eixo da barra não mudam a configuração; rotações ao redor do eixo também não mudam.
  • Consequência prática: o campo elétrico em pontos a mesma distância radial r do eixo deve ter o mesmo módulo, e sua direção deve ser radial (isto é, perpendicular ao eixo da barra), apontando para fora se \lambda>0 e para dentro se \lambda<0.
  • Portanto o campo pode ser escrito em função de r apenas: \mathbf{E}=\mathbf{E}(r), com \mathbf{E}(r) radial.

Passo 4

Escolha da superfície de Gauss e decomposição do fluxo.
  • Escolher uma superfície cilíndrica coaxial com a barra: raio r e comprimento L. Essa superfície tem três partes: superfície lateral curva e duas tampas planas (uma em cada extremidade).
  • Pela simetria: sobre a superfície lateral o vetor \mathbf{E} é perpendicular à superfície e tem módulo constante igual a E(r). Já nas tampas, \mathbf{E} é paralelo ao plano das tampas (pois \mathbf{E} é radial e as tampas são perpendiculares ao eixo), então o produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} nas tampas é zero.
  • Assim, somente a superfície lateral contribui para o fluxo total. A área da superfície lateral do cilindro é 2\pi r L.
    Logo o fluxo total sobre a superfície fechada é
\oint_{\partial V}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\times(2\pi r L).

Passo 5

Cálculo da carga encerrada Q_{\rm int}.
  • A densidade linear \lambda é carga por comprimento, portanto a carga contida no comprimento L do cilindro é
Q_{\rm int}=\lambda L.
  • Observação: L é um parâmetro arbitrário (desde que grande o suficiente para justificar a aproximação de barra longa), e deverá cancelar na expressão final.

Passo 6

Aplicar a Lei de Gauss e resolver para E(r).
  • Pela Lei de Gauss:
E(r)\,(2\pi r L)=\frac{Q_{\rm int}}{\epsilon_0}=\frac{\lambda L}{\epsilon_0}.
  • Cancelando L em ambos os lados (o que é esperado por causa da simetria translacional ao longo do eixo):
E(r)\,2\pi r=\frac{\lambda}{\epsilon_0}.
  • Isolando E(r):
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\,r}.

Passo 7

Interpretação física e forma vetorial.
  • O resultado mostra que o campo decai como 1/r com a distância radial, característica de uma distribuição linear de carga (comparar mentalmente: ponto \sim1/r^2, plano infinito \sim constante).
  • Em forma vetorial, usando o versor radial \hat{\mathbf{r}} (apontando para fora do eixo),
\mathbf{E}(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\,r}\,\hat{\mathbf{r}}.
  • Lembrar do sinal: se \lambda>0 o campo aponta para fora ( \hat{\mathbf{r}}); se \lambda<0 aponta para dentro (o fator \lambda já garante o sentido).

Passo 8

Checagens rápidas e dicas para prova.
  • Dica prática: sempre justifique a escolha da superfície de Gauss pela simetria antes de usá-la. Se a simetria não segurasse E constante sobre a superfície escolhida, não se pode puxar E para fora da integral.
  • Dimensionalmente, \dfrac{\lambda}{\epsilon_0 r} tem unidades de campo elétrico (confirmando coerência).
  • Alternativa comum de apresentação: usando k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0},
E(r)=\frac{2k\lambda}{r}.
  • Em problemas de prova, escolha L de forma conveniente (por exemplo L=1 m) para simplificar, sabendo que L vai se cancelar.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\,r}\,\hat{\mathbf{r}}

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