Usando a Lei de Gauss, determine o campo elétrico próximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga
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Passo 1
O enunciado pede: determinar o campo elétrico próximo a uma barra muito longa com densidade linear de carga
.
Informações dadas e o que se quer encontrar:
Informações dadas e o que se quer encontrar:
- A barra é “muito longa” (modelo ideal: comprimento muito maior que as distâncias de interesse; para fins práticos tratamos como barra infinita).
- A barra possui densidade linear de carga
(carga por unidade de comprimento). - Procuramos o campo elétrico
em um ponto a uma distância radial do eixo da barra (ou seja, é a distância perpendicular à barra). - Assumiremos espaço livre com permissividade
.
O objetivo final: obter uma expressão para o módulo e direção decomo função de .
Passo 2
Apresentando a ferramenta principal — Lei de Gauss. A Lei de Gauss em sua forma integral é:
Explanação das parcelas:
-
indica integral de superfície sobre a superfície fechada que limita um volume . -
é o campo elétrico no ponto da superfície. -
é o vetor elemento de área da superfície (magnitude igual à área do elemento, direção normal à superfície, apontando para fora). -
é a carga total contida dentro do volume . -
é a permissividade do vácuo.
Intuição: a lei relaciona o fluxo total do campo elétrico saindo de uma superfície fechada com a carga dentro dela.
Passo 3
Análise de simetria — por que escolher um certo tipo de superfície Gaussiana.
- Uma barra muito longa (idealmente infinita) tem simetria cilíndrica: deslocamentos ao longo do eixo da barra não mudam a configuração; rotações ao redor do eixo também não mudam.
- Consequência prática: o campo elétrico em pontos a mesma distância radial
do eixo deve ter o mesmo módulo, e sua direção deve ser radial (isto é, perpendicular ao eixo da barra), apontando para fora se e para dentro se . - Portanto o campo pode ser escrito em função de
apenas: , com radial.
Passo 4
Escolha da superfície de Gauss e decomposição do fluxo.
- Escolher uma superfície cilíndrica coaxial com a barra: raio
e comprimento . Essa superfície tem três partes: superfície lateral curva e duas tampas planas (uma em cada extremidade). - Pela simetria: sobre a superfície lateral o vetor
é perpendicular à superfície e tem módulo constante igual a . Já nas tampas, é paralelo ao plano das tampas (pois é radial e as tampas são perpendiculares ao eixo), então o produto escalar nas tampas é zero. - Assim, somente a superfície lateral contribui para o fluxo total. A área da superfície lateral do cilindro é
.
Logo o fluxo total sobre a superfície fechada é
Passo 5
Cálculo da carga encerrada
.
- A densidade linear
é carga por comprimento, portanto a carga contida no comprimento do cilindro é
- Observação:
é um parâmetro arbitrário (desde que grande o suficiente para justificar a aproximação de barra longa), e deverá cancelar na expressão final.
Passo 6
Aplicar a Lei de Gauss e resolver para
.
- Pela Lei de Gauss:
- Cancelando
em ambos os lados (o que é esperado por causa da simetria translacional ao longo do eixo):
- Isolando
:
Passo 7
Interpretação física e forma vetorial.
- O resultado mostra que o campo decai como
com a distância radial, característica de uma distribuição linear de carga (comparar mentalmente: ponto , plano infinito constante). - Em forma vetorial, usando o versor radial
(apontando para fora do eixo),
- Lembrar do sinal: se
o campo aponta para fora ( ); se aponta para dentro (o fator já garante o sentido).
Passo 8
Checagens rápidas e dicas para prova.
- Dica prática: sempre justifique a escolha da superfície de Gauss pela simetria antes de usá-la. Se a simetria não segurasse
constante sobre a superfície escolhida, não se pode puxar para fora da integral. - Dimensionalmente,
tem unidades de campo elétrico (confirmando coerência). - Alternativa comum de apresentação: usando
,
- Em problemas de prova, escolha
de forma conveniente (por exemplo m) para simplificar, sabendo que vai se cancelar.