Uma espira retangular de comprimento
, largura
e resistência
é colocada nas vizinhanças de um fio infinitamente longo percorrido por uma corrente
. Em seguida a espira é afastada do fio com uma velocidade constante
. Quando o centro da espira está a uma distancia
do fio, determine: a corrente induzida na espira.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma espira retangular com dimensões $ a = 2,2 , cm $, $ b = 0,80 , cm $ e resistência $ R = 40 , m\Omega $. Ela está próxima de um fio longo que transporta uma corrente constante de $ i = 4,7 , A $. Quando afastamos a espira do fio a uma velocidade constante de $ v = 3,2 , mm/s $, queremos encontrar a corrente induzida na espira quando o centro dela está a uma distância $ r = 1,5b $ do fio. Vamos precisar entender de Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e como calcular a força magnética causada pelo fio na espira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a variação do fluxo magnético através da espira gera uma força eletromotriz (fem) induzida nela, de acordo com a Lei de Faraday:
Onde $ \Phi_B $ é o fluxo magnético. A fem induzida gera uma corrente na espira que podemos encontrar usando a Lei de Ohm:
Então, vamos precisar calcular $ \mathcal{E} $ para depois encontrar $ I_{ind} $.
Passo 3
Para calcular o fluxo magnético $ \Phi_B $, precisamos saber o campo magnético produzido pelo fio longo. O campo magnético a uma distância $ r $ de um fio com corrente $ i $ é dado por:
Onde $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $ é a permeabilidade do vácuo.
Como a espira está afastando-se do fio, a distância $ r $ está aumentando com o tempo. Vamos considerar que a espira está alinhada de forma que a variação principal do fluxo ocorre ao longo da dimensão $ a $ da espira.
Passo 4
O fluxo magnético $ \Phi_B $ através da espira é a integral do campo magnético sobre a área da espira:
Assumindo que a espira está perpendicular ao campo, podemos simplificar:
Onde $ A = a \times b $ é a área da espira. Mas como $ r $ está mudando, precisamos derivar $ \Phi_B $ em relação ao tempo.
Passo 5
A derivada do fluxo magnético em relação ao tempo é:
Aqui, $ \frac{dr}{dt} $ é a velocidade $ v $ com que a espira se afasta do fio.
Passo 6
Substituindo os valores conhecidos:
Vamos simplificar as unidades primeiro:
- $ a = 2,2 , cm = 0,022 , m $
- $ b = 0,80 , cm = 0,0080 , m $
- $ r = 1,5b = 1,5 \times 0,0080 = 0,012 , m $
- $ v = 3,2 , mm/s = 0,0032 , m/s $
Agora calculamos:
Simplificando $ \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2\pi} = 2 \times 10^{-7} $:
Passo 7
Calculando passo a passo:
- Multiplicando os primeiros termos:
- Calculando o termo negativo:
- Multiplicando pelo $ v $:
Passo 8
Agora que temos $ \frac{d\Phi_B}{dt} = -3,673 \times 10^{-9} , V $, aplicamos a Lei de Faraday para encontrar a fem induzida:
Usando a Lei de Ohm para encontrar a corrente induzida:
Resposta
A corrente induzida na espira é aproximadamente $ 9,18 \times 10^{-8} , A $.