Uma espira retangular de comprimento a=2,2 cm, largura b=0,80 cm e resistência R=40 m Omega é colocada nas vizinhanças de um fio infinitamente longo percorrido por uma corrente i=4,7 A. Em seguida a espira é afastada do fio com uma velocidade constante v=3,2 mm / s. Quando o centro da espira está a uma distancia r=1,5 b do fio, determine: a corrente induzida na espira.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma espira retangular com dimensões $ a = 2,2 , cm $, $ b = 0,80 , cm $ e resistência $ R = 40 , m\Omega $. Ela está próxima de um fio longo que transporta uma corrente constante de $ i = 4,7 , A $. Quando afastamos a espira do fio a uma velocidade constante de $ v = 3,2 , mm/s $, queremos encontrar a corrente induzida na espira quando o centro dela está a uma distância $ r = 1,5b $ do fio. Vamos precisar entender de Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e como calcular a força magnética causada pelo fio na espira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a variação do fluxo magnético através da espira gera uma força eletromotriz (fem) induzida nela, de acordo com a Lei de Faraday:
E = -dPhiBdt
Onde $ \Phi_B $ é o fluxo magnético. A fem induzida gera uma corrente na espira que podemos encontrar usando a Lei de Ohm:
PhiB
Então, vamos precisar calcular $ \mathcal{E} $ para depois encontrar $ I_{ind} $.

Passo 3

Para calcular o fluxo magnético $ \Phi_B $, precisamos saber o campo magnético produzido pelo fio longo. O campo magnético a uma distância $ r $ de um fio com corrente $ i $ é dado por:
PhiB
Onde $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $ é a permeabilidade do vácuo.
Como a espira está afastando-se do fio, a distância $ r $ está aumentando com o tempo. Vamos considerar que a espira está alinhada de forma que a variação principal do fluxo ocorre ao longo da dimensão $ a $ da espira.

Passo 4

O fluxo magnético $ \Phi_B $ através da espira é a integral do campo magnético sobre a área da espira:
PhiB
Assumindo que a espira está perpendicular ao campo, podemos simplificar:
PhiB = integral B(r) , dA
Onde $ A = a \times b $ é a área da espira. Mas como $ r $ está mudando, precisamos derivar $ \Phi_B $ em relação ao tempo.

Passo 5

A derivada do fluxo magnético em relação ao tempo é:
dPhiBdt = ddt ( mu0 i2pi r cdot a cdot b ) = mu0 i a b2pi cdot ( -1r^2 ) cdot drdt
Aqui, $ \frac{dr}{dt} $ é a velocidade $ v $ com que a espira se afasta do fio.

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos:
dPhiBdt = 4pi times 10^-7 times 4,7 times 0,022 times 0,00802pi cdot ( -1(1,5 times 0,0080)^2 ) times 0,0032
Vamos simplificar as unidades primeiro:
  • $ a = 2,2 , cm = 0,022 , m $
  • $ b = 0,80 , cm = 0,0080 , m $
  • $ r = 1,5b = 1,5 \times 0,0080 = 0,012 , m $
  • $ v = 3,2 , mm/s = 0,0032 , m/s $
Agora calculamos:
a = 2,2 , cm = 0,022 , m
Simplificando $ \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2\pi} = 2 \times 10^{-7} $:
b = 0,80 , cm = 0,0080 , m

Passo 7

Calculando passo a passo:
  1. Multiplicando os primeiros termos:
2 times 10^-7 times 4,7 = 9,4 times 10^-7
9,4 times 10^-7 times 0,022 = 2,068 times 10^-8
2,068 times 10^-8 times 0,0080 = 1,6544 times 10^-10
  1. Calculando o termo negativo:
-10,000144 = -6944,4444
  1. Multiplicando pelo $ v $:
v
1,6544 times 10^-10 times (-6944,4444) = -1,148 times 10^-6

Passo 8

Agora que temos $ \frac{d\Phi_B}{dt} = -3,673 \times 10^{-9} , V $, aplicamos a Lei de Faraday para encontrar a fem induzida:
dPhiBdt = -3,673 times 10^-9 , V
Usando a Lei de Ohm para encontrar a corrente induzida:
E = -dPhiBdt = 3,673 times 10^-9 , V

Resposta

A corrente induzida na espira é aproximadamente $ 9,18 \times 10^{-8} , A $.

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