Mostre que em uma collsão elảstica não frontal de duas esferas idéntıcas, em que uma delas está inícíalmente em repouso, a angulo formado pelas direcões das velocidades finals das duas esferas é sempre
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, em uma colisão elástica não frontal entre duas esferas idênticas, onde uma está inicialmente parada, o ângulo entre as direções das velocidades finais das duas esferas é sempre
(ou 90 graus). Para resolver isso, vamos usar os princípios de conservação da quantidade de movimento e da energia cinética, que são fundamentais na física das colisões.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as massas das duas esferas. Como são idênticas, vamos chamar cada uma de massa
. Suponha que antes da colisão, a primeira esfera está se movendo com velocidade
, e a segunda está parada, ou seja, com velocidade
.
Passo 3
Depois da colisão, as duas esferas vão ter novas velocidades: vamos chamar a velocidade da primeira esfera de
e a da segunda de
. Precisamos relacionar essas velocidades usando a conservação da quantidade de movimento e da energia cinética.
Passo 4
A conservação da quantidade de movimento na colisão nos diz que a quantidade de movimento total antes da colisão é igual à quantidade de movimento total depois. Como a segunda esfera está parada inicialmente, temos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por
:
Isso é a nossa primeira equação.
Passo 5
Agora, vamos usar a conservação da energia cinética, que diz que a energia cinética total antes da colisão é igual à energia cinética total depois. A energia cinética antes da colisão é:
Depois da colisão, é a soma das energias cinéticas das duas esferas:
Igualando as duas expressões:
Podemos simplificar novamente dividindo por
:
Essa é a nossa segunda equação.
Passo 6
Agora temos duas equações:
A segunda equação se assemelha à fórmula do teorema de Pitágoras, que nos diz que se dois vetores são perpendiculares, então o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Isso sugere que
, ou seja, as velocidades finais das duas esferas formam um ângulo de 90 graus entre si.
Resposta
Portanto, mostramos que em uma colisão elástica não frontal de duas esferas idênticas, onde uma está inicialmente em repouso, o ângulo entre as direções das velocidades finais das duas esferas é sempre
radianos (90 graus).