Uma espira retangular de comprimento L, resistēncia R e massa m está inicialmente suspensa na presença de um campo magnético uniforme \vec{B}, que é nāo nulo apenas em uma regiāo do espaço. Inicialmente, toda a espira encontra-se em uma regiāo onde há campo magnético. A espira é entāo liberada, acelerando sob a açāo da gravidade até atingir uma velocidade terminal v_{t}.
(a) Determine v_{f}. em termos de L, R, m e B. (1.5p)
(b) Mostre que a velocidade terminal permanece a mesma quando a espira é substituida por uma bobina de N espiras identicas. ( 1,0 \mathrm{p} )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
  • Dados fornecidos:
    • Uma espira retangular com comprimento L (lado que atravessa a região do campo), resistência R e massa m.
    • Há um campo magnético uniforme \vec{B} não nulo apenas em uma região do espaço; inicialmente toda a espira está dentro dessa região.
    • A espira é solta e desce sob a gravidade até atingir uma velocidade terminal (denotada no enunciado por v_{t} ou v_{f}).
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Determinar v_{f} em termos de L,R,m,B.
    • (b) Mostrar que a velocidade terminal permanece a mesma quando a espira é substituída por uma bobina de N espiras idênticas.
Observação: para descrever a perda de fluxo usarei a variável x(t) para representar a extensão (comprimento) da espira que ainda está dentro da região onde \vec{B}\neq 0. Quando a espira desce com velocidade para baixo v=\dfrac{dx}{dt}, a área dentro da região de campo muda à razão L\,v.

Passo 2

Faraday / fluxo e fem: explicar e calcular a força eletromotriz induzida (emf).
  • Conceito (mini-aula): A variação do fluxo magnético através de uma espira produz uma força eletromotriz induzida segundo a lei de Faraday. O fluxo magnético \Phi através da espira é o produto do campo pelo área que está dentro do campo (aqui o campo é uniforme e a área imersa é L\cdot x). Ou seja,
\Phi = B \cdot (L x) = B L x,
onde x é o comprimento da espira ainda dentro da região do campo e B é a intensidade do campo (assume-se \vec B perpendicular à superfície da espira).
  • A lei de Faraday diz que a fem induzida é (módulo)
\mathcal{E} = \left|\dfrac{d\Phi}{dt}\right|.
Como \Phi = B L x e dx/dt=v (velocidade com que a espira sai da região de campo),
\mathcal{E} = \left|B L \dfrac{dx}{dt}\right| = B L v.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • B: intensidade do campo magnético (assume-se perpendicular à superfície da espira);
  • L: comprimento do lado da espira que define a largura da área imersa;
  • v: velocidade de descida da espira (módulo).

Passo 3

Corrente induzida (Ohm) e direção qualitativa.
  • Conceito (mini-aula): A fem induzida \mathcal{E} fará circular uma corrente na espira; pela lei de Ohm a corrente é a fem dividida pela resistência total da espira.
  • Assim,
I=\dfrac{\mathcal{E}}{R}=\dfrac{B L v}{R}.
  • Sobre a direção: pela regra de Lenz a corrente é tal que o campo magnético que ela cria se opõe à variação do fluxo, o que gera uma força magnética que se opõe ao movimento (ou seja, uma força de frenagem para cima). Não precisamos do sentido exato para obter o valor da velocidade terminal, apenas reconhecer que a força é contrária à velocidade.

Passo 4

Força magnética sobre a espira (expressão e justificativa).
  • Conceito (mini-aula): Uma corrente I em um fio de comprimento L imerso num campo \vec B sofre uma força dada por F=I L B quando o fio é perpendicular ao campo (resultado da integral \int I\,d\vec\ell\times\vec B para um segmento reto).
  • Na configuração considerada, apenas os segmentos da espira que estão dentro da região onde \vec B\neq0 sofrem força magnética. A força total resultante que age verticalmente sobre a espira pode ser escrita (módulo) como
F_{\text{mag}} = I L B.
  • Substituindo I do Passo 3:
F_{\text{mag}} = \left(\dfrac{B L v}{R}\right) L B = \dfrac{B^{2} L^{2}}{R}\, v.
  • Notação: F_{\text{mag}} é a força de frenagem magnética que aponta para cima e tem magnitude proporcional à velocidade v (isso caracteriza um amortecimento viscoso magnético).

Passo 5

Equilíbrio de forças e cálculo de v_{f}.
  • Conceito (mini-aula): velocidade terminal ocorre quando as forças verticais se equilibram — força peso para baixo e força magnética para cima — de modo que a aceleração é zero.
  • Escrevendo esse equilíbrio:
m g = F_{\text{mag}} = \dfrac{B^{2} L^{2}}{R}\, v_{f},
onde g é a aceleração da gravidade e v_{f} é a velocidade terminal procurada.
  • Isolando v_{f}:
v_{f} = \dfrac{m g R}{B^{2} L^{2}}.
  • Interpretação: quanto maior a resistência R ou a massa m, maior a velocidade terminal; quanto maior o campo B ou o comprimento L que corta o campo, menor a velocidade terminal (mais frenagem magnética).

Passo 6

Parte (b) — substituição por uma bobina de N espiras idênticas: por que a velocidade terminal não muda.
  • Situação: cada espira individual é idêntica à espira original (mesmo L, mesma resistência R e mesma massa m por volta). As N espiras são enroladas em série formando a bobina.
  • Efeitos sobre as quantidades:
    • A fem induzida por cada volta tem magnitude B L v. Como as N voltas estão em série, a fem total é
    \mathcal{E}_N = N\, (B L v) = N B L v.
    • A resistência total em série soma as resistências das N espiras, ou seja
    R_N = N R.
    • Logo a corrente na bobina é
    I_N = \dfrac{\mathcal{E}_N}{R_N} = \dfrac{N B L v}{N R} = \dfrac{B L v}{R}.Observação: ficou igual à corrente da única espira do caso anterior.
    • A força magnética sobre cada volta é I_N L B; somando as N voltas a força total é
    F_{\text{mag},N} = N\, I_N L B = N\left(\dfrac{B L v}{R}\right) L B = \dfrac{N B^{2} L^{2}}{R}\, v.
    • A massa total da bobina é m_N = N m (cada volta tem massa m).
  • Equilíbrio para velocidade terminal da bobina:
m_N g = F_{\text{mag},N} \quad\Rightarrow\quad N m g = \dfrac{N B^{2} L^{2}}{R}\, v_{f,N}.
  • Cancelando N em ambos os lados obtém-se
m g = \dfrac{B^{2} L^{2}}{R}\, v_{f,N}
ou seja
v_{f,N} = \dfrac{m g R}{B^{2} L^{2}}.
  • Conclusão: a velocidade terminal da bobina de N espiras idênticas (ligadas em série) é a mesma que a da espira única; o fator N cancela porque tanto a fem total quanto a resistência e a massa total escalam com N.

Resposta

(a) v_{f}=\dfrac{m g R}{B^{2} L^{2}}
(b) A velocidade terminal permanece a mesma: v_{f,N}=v_{f}=\dfrac{m g R}{B^{2} L^{2}}

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