Para uma das geometrias, apresente o desenvolvimento completo da fórmula adotada a partir da Lei de Biot-Savart (desenvolvimento da integral até a fórmula final utlizada para obter a solução numérica da questão 02).

Passo 1

O que vou fazer e o que o enunciado (implícito) pede:
  • Pediram o desenvolvimento completo da fórmula a partir da Lei de Biot–Savart para uma das geometrias. Vou escolher a geometria clássica: uma espira circular de raio R com corrente I, e calcular o campo magnético no ponto sobre o eixo da espira, a uma distância z do centro (isto é suficiente como “uma das geometrias” e é muito usada em provas).
  • Informações relevantes (que assumo da questão):
    • Espira circular de raio R no plano xy, centrada na origem.
    • Corrente I circulando na espira (sentido dado pela regra da mão direita).
    • Ponto de interesse P localizado no eixo z a uma distância z do centro.
  • O objetivo: partir da Lei de Biot–Savart escrever a integral, desenvolver todos os passos algébricos e chegar à fórmula fechada para B ao longo do eixo, fórmula que será usada para obter a solução numérica da questão 02.

Passo 2

Escrever a Lei de Biot–Savart e interpretar cada termo.
  • A Lei de Biot–Savart em forma diferencial para o campo magnético é:
d\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\,I\frac{d\mathbf{l}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{\lVert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert^{3}},
onde:
  • \mu_0 é a permissividade magnética do vácuo.
  • I é a corrente elétrica na espira.
  • d\mathbf{l}' é o elemento de comprimento vetorial da corrente (no ponto fonte \mathbf{r}').
  • \mathbf{r} é o vetor posição do ponto onde se quer o campo (aqui o ponto P).
  • \mathbf{r}' é o vetor posição do elemento de corrente.
  • \mathbf{r}-\mathbf{r}' é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto P.
  • A ideia: parametrizar a espira, calcular d\mathbf{l}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}'), dividir por \lVert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert^{3} e integrar ao redor da espira ( \varphi de 0 a 2\pi).

Passo 3

Escolher coordenadas e parametrização da espira.
  • Coloco a espira no plano xy centrada na origem. Um ponto fonte na espira tem coordenadas
\mathbf{r}'=R\cos\varphi\,\hat{\mathbf{x}}+R\sin\varphi\,\hat{\mathbf{y}}+0\,\hat{\mathbf{z}},
onde \varphi é o ângulo polar ao longo da espira.
  • O ponto onde quero o campo é P sobre o eixo z:
\mathbf{r}=0\,\hat{\mathbf{x}}+0\,\hat{\mathbf{y}}+z\,\hat{\mathbf{z}}.
  • O vetor do elemento de corrente (sentido positivo conforme \varphi crescente) é
d\mathbf{l}'=\frac{d\mathbf{r}'}{d\varphi}\,d\varphi = (-R\sin\varphi\,\hat{\mathbf{x}} + R\cos\varphi\,\hat{\mathbf{y}})\,d\varphi.
  • O vetor que vai do elemento até P é
\mathbf{R}\equiv\mathbf{r}-\mathbf{r}' = -R\cos\varphi\,\hat{\mathbf{x}} - R\sin\varphi\,\hat{\mathbf{y}} + z\,\hat{\mathbf{z}}.
  • O módulo desse vetor (distância elemento \to ponto P) é independentemente de \varphi:
\lVert\mathbf{R}\rVert = \sqrt{R^{2}+z^{2}}.

Passo 4

Calcular o produto vetorial d\mathbf{l}'\times\mathbf{R} de modo detalhado.
  • Escrevo os vetores a serem cruzados:
d\mathbf{l}' = (-R\sin\varphi\,d\varphi)\,\hat{\mathbf{x}} + (R\cos\varphi\,d\varphi)\,\hat{\mathbf{y}} + 0\,\hat{\mathbf{z}},
\mathbf{R} = (-R\cos\varphi)\,\hat{\mathbf{x}} + (-R\sin\varphi)\,\hat{\mathbf{y}} + z\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Uso a expressão do determinante para o produto vetorial:
d\mathbf{l}'\times\mathbf{R} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}}\\[4pt] - R\sin\varphi\,d\varphi & R\cos\varphi\,d\varphi & 0\\[4pt] - R\cos\varphi & -R\sin\varphi & z \end{vmatrix}.
  • Calculando componente a componente:
    • Componente \hat{\mathbf{x}}:
    (\hat{\mathbf{x}})\text{-componente} = (R\cos\varphi\,d\varphi)\cdot z - 0\cdot(-R\sin\varphi) = R z \cos\varphi\,d\varphi.
    • Componente \hat{\mathbf{y}}:
    (\hat{\mathbf{y}})\text{-componente} = -\Big((-R\sin\varphi\,d\varphi)\cdot z - 0\cdot(-R\cos\varphi)\Big) = R z \sin\varphi\,d\varphi.
    • Componente \hat{\mathbf{z}}:
    (\hat{\mathbf{z}})\text{-componente} = (-R\sin\varphi\,d\varphi)\cdot(-R\sin\varphi) - (R\cos\varphi\,d\varphi)\cdot(-R\cos\varphi)
= R^{2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi + R^{2}\cos^{2}\varphi\,d\varphi = R^{2}d\varphi.
  • Assim:
d\mathbf{l}'\times\mathbf{R} = R z \cos\varphi\,d\varphi\,\hat{\mathbf{x}} + R z \sin\varphi\,d\varphi\,\hat{\mathbf{y}} + R^{2}d\varphi\,\hat{\mathbf{z}}.]

Passo 5

Substituir na Lei de Biot–Savart e simplificar a expressão para d\mathbf{B}.
  • A expressão diferencial é
d\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{d\mathbf{l}'\times\mathbf{R}}{\lVert\mathbf{R}\rVert^{3}}.
  • Substituindo o produto vetorial e \lVert\mathbf{R}\rVert = \sqrt{R^{2}+z^{2}}:
d\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{R z \cos\varphi\,d\varphi\,\hat{\mathbf{x}} + R z \sin\varphi\,d\varphi\,\hat{\mathbf{y}} + R^{2}d\varphi\,\hat{\mathbf{z}}}{\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}.
  • Observação importante (simetria): os termos nas direções \hat{\mathbf{x}} e \hat{\mathbf{y}} são proporcionais a \cos\varphi e \sin\varphi. Ao integrar \varphi de 0 a 2\pi essas componentes se anulam porque
\int_{0}^{2\pi}\cos\varphi\,d\varphi = 0,\qquad \int_{0}^{2\pi}\sin\varphi\,d\varphi = 0.
Logo só sobra componente ao longo de \hat{\mathbf{z}}.

Passo 6

Integrar ao redor da espira e obter o campo total.
  • Integro d\mathbf{B} em \varphi de 0 a 2\pi. Mantendo somente a componente \hat{\mathbf{z}}:
\mathbf{B}(z) = \hat{\mathbf{z}}\int_{0}^{2\pi} \frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{R^{2}d\varphi}{\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}.
  • Os fatores que não dependem de \varphi saem da integral:
\mathbf{B}(z) = \hat{\mathbf{z}}\,\frac{\mu_0 I R^{2}}{4\pi\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}} \int_{0}^{2\pi} d\varphi.
  • A integral de d\varphi de 0 a 2\pi é 2\pi. Portanto:
\mathbf{B}(z) = \hat{\mathbf{z}}\,\frac{\mu_0 I R^{2}}{4\pi\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}\cdot 2\pi = \hat{\mathbf{z}}\,\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}.

Passo 7

Interpretação física, orientação e casos particulares.
  • Direção: \mathbf{B} está ao longo do eixo z (unitário \hat{\mathbf{z}}). O sentido (positivo ou negativo) depende do sentido da corrente: pela regra da mão direita, se a corrente for no sentido crescente de \varphi (no sentido anti-horário visto de cima), o campo em +z é positivo; no geral usa-se \hat{\mathbf{z}} com o sinal vindo do produto vetorial.
  • Fórmula final magnitudinal (usada para cálculo numérico):
B(z)=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}.
  • Caso especial: no centro da espira ( z=0):
B(0)=\frac{\mu_0 I}{2R},
muito usada em problemas rápidos de prova.
  • Observação prática para cálculo numérico: a fórmula tem apenas I, R, z e \mu_0 — basta substituir valores e calcular com atenção a potências e raízes cúbicas. Para uma espira com N voltas, multiplicar por N.

Passo 8

Resumo do método (para a prova: o passo-a-passo a memorizar)
  • Parametrize a espira por \varphi.
  • Escreva d\mathbf{l}' e \mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'.
  • Calcule d\mathbf{l}'\times\mathbf{R} explicitamente — normalmente a componente axial será a única que sobrevive por simetria.
  • Substitua em Biot–Savart, note que \lVert\mathbf{R}\rVert costuma ser independente de \varphi para eixo de espira, saia da integral.
  • Integre \varphi de 0 a 2\pi, simplifique e escreva a fórmula final.
  • Dica: faça o cálculo simbólico uma vez com calma; na prova reproduza os passos principais rapidamente e use o resultado fechado para obter a resposta numérica.

Resposta

B(z)=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}.

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