Para uma das geometrias, apresente o desenvolvimento completo da fórmula adotada a partir da Lei de Biot-Savart (desenvolvimento da integral até a fórmula final utlizada para obter a solução numérica da questão 02).
Passo 1
O que vou fazer e o que o enunciado (implícito) pede:
Pediram o desenvolvimento completo da fórmula a partir da Lei de Biot–Savart para uma das geometrias. Vou escolher a geometria clássica: uma espira circular de raio R com corrente I, e calcular o campo magnético no ponto sobre o eixo da espira, a uma distância z do centro (isto é suficiente como “uma das geometrias” e é muito usada em provas).
Informações relevantes (que assumo da questão):
Espira circular de raio R no plano xy, centrada na origem.
Corrente I circulando na espira (sentido dado pela regra da mão direita).
Ponto de interesse P localizado no eixo z a uma distância z do centro.
O objetivo: partir da Lei de Biot–Savart escrever a integral, desenvolver todos os passos algébricos e chegar à fórmula fechada para B ao longo do eixo, fórmula que será usada para obter a solução numérica da questão 02.
Passo 2
Escrever a Lei de Biot–Savart e interpretar cada termo.
A Lei de Biot–Savart em forma diferencial para o campo magnético é:
d\mathbf{l}' é o elemento de comprimento vetorial da corrente (no ponto fonte \mathbf{r}').
\mathbf{r} é o vetor posição do ponto onde se quer o campo (aqui o ponto P).
\mathbf{r}' é o vetor posição do elemento de corrente.
\mathbf{r}-\mathbf{r}' é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto P.
A ideia: parametrizar a espira, calcular d\mathbf{l}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}'), dividir por \lVert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert^{3} e integrar ao redor da espira (\varphi de 0 a 2\pi).
Passo 3
Escolher coordenadas e parametrização da espira.
Coloco a espira no plano xy centrada na origem. Um ponto fonte na espira tem coordenadas
d\mathbf{l}'\times\mathbf{R} = R z \cos\varphi\,d\varphi\,\hat{\mathbf{x}} + R z \sin\varphi\,d\varphi\,\hat{\mathbf{y}} + R^{2}d\varphi\,\hat{\mathbf{z}}.]
Passo 5
Substituir na Lei de Biot–Savart e simplificar a expressão para d\mathbf{B}.
Substituindo o produto vetorial e \lVert\mathbf{R}\rVert = \sqrt{R^{2}+z^{2}}:
d\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{R z \cos\varphi\,d\varphi\,\hat{\mathbf{x}} + R z \sin\varphi\,d\varphi\,\hat{\mathbf{y}} + R^{2}d\varphi\,\hat{\mathbf{z}}}{\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}.
Observação importante (simetria): os termos nas direções \hat{\mathbf{x}} e \hat{\mathbf{y}} são proporcionais a \cos\varphi e \sin\varphi. Ao integrar \varphi de 0 a 2\pi essas componentes se anulam porque
Os fatores que não dependem de \varphi saem da integral:
\mathbf{B}(z) = \hat{\mathbf{z}}\,\frac{\mu_0 I R^{2}}{4\pi\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}} \int_{0}^{2\pi} d\varphi.
A integral de d\varphi de 0 a 2\pi é 2\pi. Portanto:
\mathbf{B}(z) = \hat{\mathbf{z}}\,\frac{\mu_0 I R^{2}}{4\pi\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}\cdot 2\pi = \hat{\mathbf{z}}\,\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}.
Passo 7
Interpretação física, orientação e casos particulares.
Direção: \mathbf{B} está ao longo do eixo z (unitário \hat{\mathbf{z}}). O sentido (positivo ou negativo) depende do sentido da corrente: pela regra da mão direita, se a corrente for no sentido crescente de \varphi (no sentido anti-horário visto de cima), o campo em +z é positivo; no geral usa-se \hat{\mathbf{z}} com o sinal vindo do produto vetorial.
Fórmula final magnitudinal (usada para cálculo numérico):
B(z)=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}.
Caso especial: no centro da espira (z=0):
B(0)=\frac{\mu_0 I}{2R},
muito usada em problemas rápidos de prova.
Observação prática para cálculo numérico: a fórmula tem apenas I, R, z e \mu_0 — basta substituir valores e calcular com atenção a potências e raízes cúbicas. Para uma espira com N voltas, multiplicar por N.
Passo 8
Resumo do método (para a prova: o passo-a-passo a memorizar)
Parametrize a espira por \varphi.
Escreva d\mathbf{l}' e \mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'.
Calcule d\mathbf{l}'\times\mathbf{R} explicitamente — normalmente a componente axial será a única que sobrevive por simetria.
Substitua em Biot–Savart, note que \lVert\mathbf{R}\rVert costuma ser independente de \varphi para eixo de espira, saia da integral.
Integre \varphi de 0 a 2\pi, simplifique e escreva a fórmula final.
Dica: faça o cálculo simbólico uma vez com calma; na prova reproduza os passos principais rapidamente e use o resultado fechado para obter a resposta numérica.
Resposta
B(z)=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\big(R^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}.