Segundo o artigo “Uma breve análise da física da corrida de 100 metros rasos” da Revista de Biologia (2013) 11, a velocidade de Usain Bolt no Campeonato Mundial de Berlim em 2009 pode ser descrita pela função:
v(t)=a (1-e^-c t)-b t
onde a, b e c são parâmetros constantes, t é o tempo e e é a função exponencial.
a) Sabendo que no início da corrida ele estava em repouso na origem das coordenadas, determine a posição em função do tempo e a aceleração em função do tempo.
b) O instante de tempo em que sua velocidade é máxima.
c) Considere os seguintes valores: a=12,43 m / s, b=0,032 m / s^2 e c=0,783 s^-1, encontre o valor da velocidade máxima.

Passo 1

E aí, beleza? O exercício diz que a velocidade de Bolt é
v(t)=al(1-e^-c,tr)-b,t
e pede:
  1. a posição (integrando a velocidade) e a aceleração (derivando a velocidade), sabendo que em ele parte do repouso na origem;
  2. o instante em que é máxima (usa derivada e define igual a zero);
    3), com , e , qual é essa velocidade máxima.
    Matéria: cálculo (integração, derivação e máximo via derivada).

Passo 2

Vamos achar x(t)=a,t + ace^-ct - b2t^2 + C .
  • Integramos termo a termo:
    x(t)=a,t + acl(e^-ct-1r) - b2t^2

    .
  • Logo
  • Como , dá .
  • Fica então

Passo 3

A aceleração é a derivada de a(t)=dvdt =ddtl[a(1-e^-ct)-b,tr] =al(c,e^-ctr)-b =a,c,e^-ct-b :

Passo 4

Para achar o instante de a,c,e^-ct-b=0 Longrightarrow e^-ct=ba,c Longrightarrow -c,t=ln!l(tfracba,cr) Longrightarrow tmax=1cln!l(a,cbr) , a gente faz , mas é justamente :

Passo 5

Com tmax =10,783ln!l(12,43times0,7830,032r) approx7,30 s , vmax =al(1-ba,cr)-b,tmax =a-bc-b,tmax approx12,16 m/s e :
1)
  1. Para a gente usa que , então

Resposta

x(t)=
a(t)=
s
m/s

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