Um disco isolante e circular de raio
possui uma carga total
, distribuída uniformemente ao longo da sua superfície. Se o disco gira em torno do seu eixo com uma velocidade angular
, mostre que o campo magnético é dado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um disco isolante e redondo com raio $ R $, totalmente carregado com uma carga $ q $ distribuída de maneira uniforme na superfície. Esse disco está girando em torno do seu eixo com uma velocidade angular $ \omega $. A gente precisa mostrar que o campo magnético $ B $ gerado por esse disco é dado por:
Vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especialmente sobre como cargas em movimento criam correntes e, consequentemente, campos magnéticos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando o disco gira, as cargas elétricas que estão na superfície do disco também estão se movendo. Movimento de carga elétrica gera corrente elétrica, e corrente elétrica cria campo magnético. Então, nosso primeiro passo é calcular qual é a corrente gerada por essas cargas em movimento.
Passo 3
Para calcular a corrente ($ I $) gerada pelas cargas que giram, precisamos saber quanto tempo leva para uma carga completar uma volta no disco. A corrente é definida como a quantidade de carga que passa por um ponto por unidade de tempo. A velocidade angular $ \omega $ está relacionada ao período de rotação $ T $ pela relação:
Então, uma carga $ q $ que está girando completará uma volta em tempo $ T $. A corrente gerada por essa carga é:
Passo 4
Agora, temos a corrente devido a uma única carga. Mas o disco tem uma carga total $ q $ distribuída uniformemente sobre sua superfície. Para achar a corrente total, precisamos considerar a contribuição de todas essas cargas. Como a carga está distribuída uniformemente, podemos pensar que cada pequena parte da carga contribui para a corrente.
A densidade de carga superficial ($ \sigma $) é:
Passo 5
Vamos pensar no disco como sendo composto por infinitas anéis concêntricos de raio $ r $ e espessura $ dr $. A carga em cada anel é:
Cada um desses anéis contribui com uma corrente $ dI $:
Passo 6
Agora, vamos calcular o campo magnético $ dB $ criado por cada anel no centro do disco. A fórmula para o campo magnético no centro de um anel de corrente $ I $ e raio $ r $ é:
Substituindo $ dI $:
Observe que o $ r $ no denominador e no numerador cancelam.
Passo 7
Para obter o campo magnético total $ B $, integramos $ dB $ de $ r = 0 $ até $ r = R $:
Como $ \frac{\mu_0 q \omega}{2 \pi R^2} $ é constante em relação a $ r $, a integral fica:
Resposta
Portanto, o campo magnético gerado pelo disco é: