Uma espira retangular de lados
e
conduz uma corrente
. Determine, aplicando a lei de Biot-Savart, o campo magnético em seu centro.
Dica: calcule a integral para o campo gerado por um dos lados e aplique condições de simetria para determinar o campo gerado por toda a espira.
Dica: calcule a integral para o campo gerado por um dos lados e aplique condições de simetria para determinar o campo gerado por toda a espira.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O problema fala sobre uma espira retangular com lados de comprimentos
e
que está transportando uma corrente elétrica
. A gente precisa determinar o campo magnético no centro dessa espira usando a lei de Biot-Savart.
Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica em um ponto específico no espaço. Basicamente, ela nos diz como uma pequena parcela de corrente contribui para o campo magnético total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Biot-Savart. Ela é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a contribuição infinitesimal ao campo magnético. -
é a permeabilidade do vácuo ( ). -
é a corrente elétrica. -
é um elemento de comprimento da espira. -
é o vetor unitário que aponta de até o ponto onde estamos calculando o campo. -
é a distância entre e o ponto de observação.
Passo 3
Como a espira é retangular, ela tem quatro lados: dois com comprimento
e dois com comprimento
. Vamos calcular o campo magnético devido a um desses lados e depois usar a simetria para encontrar o campo total.
Vamos começar com um lado de comprimento
.
Passo 4
Para um fio retilíneo com comprimento
, centrado no ponto onde queremos calcular o campo (o centro da espira), a distância
de cada elemento
ao centro é constante e igual a
. A contribuição de cada lado será perpendicular ao plano da espira, e a direção do campo será determinada pela regra da mão direita.
Integrando ao longo de todo o lado, o campo magnético devido a esse lado específico é:
Passo 5
Da mesma forma, para os lados com comprimento
, seguindo o mesmo raciocínio, o campo magnético devido a cada um desses lados é:
Passo 6
Como a espira é fechada, temos dois lados de comprimento
e dois de comprimento
. Usando a simetria, os campos magnéticos de lados opostos se somam. Portanto, o campo magnético total no centro da espira é a soma das contribuições dos quatro lados:
Resposta
O campo magnético no centro da espira retangular é dado por: