Uma espira retangular de lados 2 a e 2 b conduz uma corrente I. Determine, aplicando a lei de Biot-Savart, o campo magnético em seu centro.
Dica: calcule a integral para o campo gerado por um dos lados e aplique condições de simetria para determinar o campo gerado por toda a espira.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O problema fala sobre uma espira retangular com lados de comprimentos e que está transportando uma corrente elétrica . A gente precisa determinar o campo magnético no centro dessa espira usando a lei de Biot-Savart.
Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica em um ponto específico no espaço. Basicamente, ela nos diz como uma pequena parcela de corrente contribui para o campo magnético total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Biot-Savart. Ela é dada pela fórmula:
dB = mu04pi I , dl times rr^2
Onde:
  • é a contribuição infinitesimal ao campo magnético.
  • é a permeabilidade do vácuo ( ).
  • é a corrente elétrica.
  • é um elemento de comprimento da espira.
  • é o vetor unitário que aponta de até o ponto onde estamos calculando o campo.
  • é a distância entre e o ponto de observação.

Passo 3

Como a espira é retangular, ela tem quatro lados: dois com comprimento e dois com comprimento . Vamos calcular o campo magnético devido a um desses lados e depois usar a simetria para encontrar o campo total.
Vamos começar com um lado de comprimento .

Passo 4

Para um fio retilíneo com comprimento B2a = mu0 I4pi a times 2a = mu0 I2pi a , centrado no ponto onde queremos calcular o campo (o centro da espira), a distância de cada elemento ao centro é constante e igual a . A contribuição de cada lado será perpendicular ao plano da espira, e a direção do campo será determinada pela regra da mão direita.
Integrando ao longo de todo o lado, o campo magnético devido a esse lado específico é:

Passo 5

Da mesma forma, para os lados com comprimento B2b = mu0 I2pi b , seguindo o mesmo raciocínio, o campo magnético devido a cada um desses lados é:

Passo 6

Como a espira é fechada, temos dois lados de comprimento Btotal = 2B2a + 2B2b = 2(mu0 I2pi a) + 2(mu0 I2pi b) = mu0 Ipi ( 1a + 1b ) e dois de comprimento . Usando a simetria, os campos magnéticos de lados opostos se somam. Portanto, o campo magnético total no centro da espira é a soma das contribuições dos quatro lados:

Resposta

O campo magnético no centro da espira retangular é dado por:
B = mu0 Ipi ( 1a + 1b )

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