(ESPM-SP) Numa empresa multinacional, sabe-se que 60% dos funcionários falam inglês, 45% falam espanhol e 30 \% deles não falam nenhuma daquelas línguas. Se exatamente 49 funcionários falam inglês e espanhol, podemos concluir que o número de funcionários dessa empresa é igual a:
a) 180
b) 140
c) 210
d) 165
e) 127

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados:
    • 60\% dos funcionários falam inglês.
    • 45\% dos funcionários falam espanhol.
    • 30\% dos funcionários não falam nenhuma daquelas línguas.
    • Exatamente 49 funcionários falam inglês e espanhol (ou seja, falam as duas línguas).
  • Pedido: determinar o número total de funcionários da empresa (escolher entre as opções).

Passo 2

Definir variáveis e a ideia que vamos usar.
  • Seja T o número total de funcionários da empresa.
  • Denotemos por E o número que falam inglês e por S o número que falam espanhol.
  • As informações percentuais viram multiplicações por T:
    • E = 0{,}60\,T.
    • S = 0{,}45\,T.
    • O número que não fala nenhuma das línguas é 0{,}30\,T.
Princípio que vamos usar (explicando com calma): para dois conjuntos (aqui, funcionários que falam inglês e que falam espanhol), a fórmula da união é
|E\cup S| = |E| + |S| - |E\cap S|.
Isso significa: quem fala pelo menos uma das línguas é a soma dos que falam inglês com os que falam espanhol, menos os que foram contados duas vezes (os que falam as duas).

Passo 3

Aplicar a fórmula ao problema.
  • Quem fala pelo menos uma das línguas é 100\%-30\%=70\% do total, ou seja 0{,}70\,T. Logo
|E\cup S| = 0{,}70\,T.
  • Usando a fórmula da união:
0{,}70\,T = E + S - (E\cap S).
Substituindo E = 0{,}60\,T, S = 0{,}45\,T e E\cap S = 49, obtemos
0{,}70\,T = 0{,}60\,T + 0{,}45\,T - 49.

Passo 4

Resolver a equação para T.
Primeiro somamos 0{,}60\,T + 0{,}45\,T:
0{,}60\,T + 0{,}45\,T = 1{,}05\,T.
Então
0{,}70\,T = 1{,}05\,T - 49.
Isolando T:
1{,}05\,T - 0{,}70\,T = 49
0{,}35\,T = 49.
Logo
T = \frac{49}{0{,}35}.
Calculemos \dfrac{49}{0{,}35}. Note que 0{,}35 = \dfrac{35}{100} = \dfrac{7}{20}, então
T = 49 \div 0{,}35 = 49 \cdot \frac{20}{7} = 7 \cdot 20 = 140.

Passo 5

Fazer uma checagem rápida para ver se os números fazem sentido.
  • E = 0{,}60\cdot 140 = 84.
  • S = 0{,}45\cdot 140 = 63.
  • E\cap S = 49 (dado).
  • União: 84 + 63 - 49 = 98.
  • Também 0{,}70\cdot 140 = 98. Está consistente.
  • Nenhuma contradição (por exemplo 49 \le \min(84,63)), então T=140 é válido.

Resposta

b) 140

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