Seja o sistema linear: \left\{\begin{array}{l}x_{1}+0,5 x_{2}-0,1 x_{3}+0,1 x_{4}=0,2 \\\\ 0,2 x_{1}+x_{2}-0,2 x_{3}+0,1 x_{4}=-2,6 \\\\ -0,1 x_{1}-0,2 x_{2}+x_{3}+0,2 x_{4}=1,0 \\\\ 0,1 x_{1}+0,3 x_{2}+0,2 x_{3}+x_{4}=-2,5\end{array}\right.
a. Verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito;
b. Resolva por Gauss-Seidel, se possível. Tome \varepsilon=5 \times 10^{-2}.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear (peguei todas as coeficientes e termos independentes do enunciado) e pede duas coisas:
  • (a) Verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito;
  • (b) Resolver por Gauss–Seidel, se possível, tomando [\varepsilon = 5 \times 10^{-2}).
O sistema é
\begin{cases} x_{1}+0,5x_{2}-0,1x_{3}+0,1x_{4}=0,2,\\[4pt] 0,2x_{1}+x_{2}-0,2x_{3}+0,1x_{4}=-2,6,\\[4pt] -0,1x_{1}-0,2x_{2}+x_{3}+0,2x_{4}=1,0,\\[4pt] 0,1x_{1}+0,3x_{2}+0,2x_{3}+x_{4}=-2,5. \end{cases}
Informações relevantes extraídas:
  • Matriz dos coeficientes A\] tem diagonais \(a_{11}=a_{22}=a_{33}=a_{44}=1 e outros coeficientes conforme o sistema.
  • Vetor de termos independentes b é (0,2,\,-2,6,\;1,0,\,-2,5)^{T}.
  • Tolerância para o critério de parada: \varepsilon = 5\times 10^{-2}=0,05.]

Passo 2

O que é o critério de Sassenfeld (explicação didática): Sassenfeld dá uma condição suficiente para a convergência do método iterativo de Gauss–Seidel. Define-se uma sequência de números \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n por
\beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j\ne1}|a_{1j}|, \qquad \beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\Big(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j+\sum_{j=i+1}^n|a_{ij}|\Big)
para i\ge2. Se \max_i\beta_i<1 então o método de Gauss–Seidel converge para qualquer palpite inicial.
Vou calcular \beta_i para este sistema (cada passo mostrado).
Fila 1 (linha 1):
\beta_1=\frac{|0,5|+|{-0,1}|+|0,1|}{|1|}=0,5+0,1+0,1=0,7.
Fila 2 (linha 2):
\beta_2=\frac{|0,2|\beta_1 + (|{-0,2}|+|0,1|)}{|1|}=0,2\cdot 0,7 + (0,2+0,1)=0,14+0,3=0,44.
Fila 3 (linha 3):
\beta_3=\frac{|{-0,1}|\beta_1 + |{-0,2}|\beta_2 + |0,2|}{|1|} =0,1\cdot0,7 + 0,2\cdot0,44 + 0,2 = 0,07 + 0,088 + 0,2 = 0,358.
Fila 4 (linha 4):
\beta_4=\frac{|0,1|\beta_1 + |0,3|\beta_2 + |0,2|\beta_3}{|1|} =0,1\cdot0,7 + 0,3\cdot0,44 + 0,2\cdot0,358.
Calculando:
0,1\cdot0,7=0,07,\quad 0,3\cdot0,44=0,132,\quad 0,2\cdot0,358=0,0716,
logo
\beta_4=0,07+0,132+0,0716=0,2736.

Passo 3

Interpretação do resultado de Sassenfeld: os valores obtidos são
\beta_1=0,7,\quad \beta_2=0,44,\quad \beta_3=0,358,\quad \beta_4=0,2736,
e \max_i\beta_i=\beta_1=0,7<1. Portanto o critério de Sassenfeld é satisfeito, o que garante que o método de Gauss–Seidel converge (para qualquer palpite inicial). Conclusão da parte (a): sim, o critério é satisfeito.

Passo 4

Preparação para aplicar Gauss–Seidel (explicação didática do método): Gauss–Seidel itera resolvendo cada equação em sequência pela incógnita correspondente, usando os valores mais recentes já calculados na mesma iteração. Como as diagonais são todas 1, fica simples isolar cada variável. Das equações temos as fórmulas iterativas (cada linha isolada para x_i):
\begin{aligned} x_{1}&=0,2-0,5x_{2}+0,1x_{3}-0,1x_{4},\\[4pt] x_{2}&=-2,6-0,2x_{1}+0,2x_{3}-0,1x_{4},\\[4pt] x_{3}&=1,0+0,1x_{1}+0,2x_{2}-0,2x_{4},\\[4pt] x_{4}&=-2,5-0,1x_{1}-0,3x_{2}-0,2x_{3}. \end{aligned}
Critério de parada (o que vou usar): vou usar o critério usual de máxima diferença entre iterações sucessivas (norma infinito)
\max_{i}|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}|<\varepsilon,
com \varepsilon=0,05. Este critério é prático e fácil de calcular durante a prova.
Palpite inicial (escolha prática e comum): x^{(0)}=(0,0,0,0)^{T}.]

Passo 5

Iteração 1 (usar x^{(0)} e atualizar sequencialmente):
  • x_1^{(1)}=0,2-0,5\cdot 0 +0,1\cdot 0 -0,1\cdot 0=0,2.
  • x_2^{(1)}=-2,6-0,2\cdot x_1^{(1)}+0,2\cdot 0 -0,1\cdot 0 =-2,6-0,2\cdot0,2=-2,6-0,04=-2,64.
  • x_3^{(1)}=1,0+0,1\cdot x_1^{(1)}+0,2\cdot x_2^{(1)}-0,2\cdot 0 =1,0+0,1\cdot0,2+0,2\cdot(-2,64)=1,0+0,02-0,528=0,492.
  • x_4^{(1)}=-2,5-0,1\cdot x_1^{(1)}-0,3\cdot x_2^{(1)}-0,2\cdot x_3^{(1)} =-2,5-0,02+0,792-0,0984=-1,8264.
Resultado da iteração 1:
x^{(1)}=(0,2000,\,-2,6400,\;0,4920,\,-1,8264).

Passo 6

Iteração 2 (usar valores mais recentes sempre que disponíveis):
  • x_1^{(2)}=0,2-0,5x_2^{(1)}+0,1x_3^{(1)}-0,1x_4^{(1)} =0,2-0,5(-2,64)+0,1(0,492)-0,1(-1,8264)
=0,2+1,32+0,0492+0,18264=1,75184.
  • x_2^{(2)}=-2,6-0,2x_1^{(2)}+0,2x_3^{(1)}-0,1x_4^{(1)} =-2,6-0,2(1,75184)+0,2(0,492)-0,1(-1,8264)
=-2,6-0,350368+0,0984+0,18264=-2,669328.
  • x_3^{(2)}=1,0+0,1x_1^{(2)}+0,2x_2^{(2)}-0,2x_4^{(1)} =1,0+0,1(1,75184)+0,2(-2,669328)-0,2(-1,8264)
=1,0+0,175184-0,5338656+0,36528=1,0065984.
  • (x_4{(2)}=-2,5-0,1x_1{(2)}-0,3x_2{(2)}-0,2x_3{(2)}
    =-2,5-0,175184+0,8007984-0,20131968=-2,07570528.
    ]
Resultado da iteração 2:
x^{(2)}=(1,75184,\,-2,669328,\;1,0065984,\,-2,07570528).
Calculemos a máxima diferença com a iteração anterior:
\max_i|x_i^{(2)}-x_i^{(1)}|=\max(1,55184,\;0,029328,\;0,5145984,\;0,24930528)=1,55184,
ainda maior que 0,05. Continuamos.)

Passo 7

Iteração 3:
  • x_1^{(3)}=0,2-0,5x_2^{(2)}+0,1x_3^{(2)}-0,1x_4^{(2)} =0,2-0,5(-2,669328)+0,1(1,0065984)-0,1(-2,07570528)
=0,2+1,334664+0,10065984+0,207570528=1,842894368.
  • x_2^{(3)}=-2,6-0,2x_1^{(3)}+0,2x_3^{(2)}-0,1x_4^{(2)} =-2,6-0,2(1,842894368)+0,2(1,0065984)-0,1(-2,07570528)
=-2,6-0,3685788736+0,20131968+0,207570528=-2,5596886656.
  • x_3^{(3)}=1,0+0,1x_1^{(3)}+0,2x_2^{(3)}-0,2x_4^{(2)} =1,0+0,1842894368+0,2(-2,5596886656)-0,2(-2,07570528)
=1,0+0,1842894368-0,51193773312+0,415141056=1,08749275968.
  • x_4^{(3)}=-2,5-0,1x_1^{(3)}-0,3x_2^{(3)}-0,2x_3^{(3)} =-2,5-0,1842894368+0,76790659968-0,217498551936
=-2,133881389056.
Resultado da iteração 3:
x^{(3)}=(1,842894368,\,-2,5596886656,\;1,08749275968,\,-2,133881389056).
Máxima diferença entre iterações 3 e 2:
\max_i|x_i^{(3)}-x_i^{(2)}|=\max(0,091054368,\;0,1096393344,\;0,08089435968,\;0,058176109056)=0,1096393344,
ainda maior que 0,05. Continuamos.

Passo 8

Iteração 4:
  • x_1^{(4)}=0,2-0,5x_2^{(3)}+0,1x_3^{(3)}-0,1x_4^{(3)} =0,2-0,5(-2,5596886656)+0,1(1,08749275968)-0,1(-2,133881389056)
=0,2+1,2798443328+0,108749275968+0,2133881389056=1,8019817476736.
  • x_2^{(4)}=-2,6-0,2x_1^{(4)}+0,2x_3^{(3)}-0,1x_4^{(3)} =-2,6-0,2(1,8019817476736)+0,2(1,08749275968)-0,1(-2,133881389056)
=-2,6-0,36039634953472+0,217498551936+0,2133881389056=-2,52950965869312.
  • x_3^{(4)}=1,0+0,1x_1^{(4)}+0,2x_2^{(4)}-0,2x_4^{(3)} =1,0+0,18019817476736+0,2(-2,52950965869312)-0,2(-2,133881389056)
=1,0+0,18019817476736-0,505901931738624+0,4267762778112=1,101072520839936.
  • x_4^{(4)}=-2,5-0,1x_1^{(4)}-0,3x_2^{(4)}-0,2x_3^{(4)} =-2,5-0,18019817476736+0,758852897607936-0,2202145041679872
=-2,1415597813274112.
Resultado da iteração 4:
x^{(4)}=(1,8019817476736,\,-2,52950965869312,\;1,101072520839936,\,-2,1415597813274112).
Máxima diferença entre iterações 4 e 3:
\max_i|x_i^{(4)}-x_i^{(3)}|=\max(0,0409126203264,\;0,03017900690688,\;0,013579761159936,\;0,0076783922714112)=0,0409126203264.

Passo 9

Como a máxima diferença 0,0409126\dots é menor que \varepsilon=0,05, o critério de parada está satisfeito. Portanto paramos na iteração 4.
Interpretando: por causa do critério de Sassenfeld já verificado, sabemos que a convergência era esperada; aqui a solução aproximada após 4 iterações (com o critério pedido) é x^{(4)} acima.

Resposta

x_{1}\approx 1,8019817476736
x_{2}\approx -2,52950965869312
x_{3}\approx 1,101072520839936
x_{4}\approx -2,1415597813274112

Exercícios relacionados