Seja o sistema linear: \left\{\begin{array}{l}x_{1}+0,5 x_{2}-0,1 x_{3}+0,1 x_{4}=0,2 \\\\ 0,2 x_{1}+x_{2}-0,2 x_{3}+0,1 x_{4}=-2,6 \\\\ -0,1 x_{1}-0,2 x_{2}+x_{3}+0,2 x_{4}=1,0 \\\\ 0,1 x_{1}+0,3 x_{2}+0,2 x_{3}+x_{4}=-2,5\end{array}\right.
a. Verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito;
b. Resolva por Gauss-Seidel, se possível. Tome \varepsilon=5 \times 10^{-2}.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear (peguei todas as coeficientes e termos independentes do enunciado) e pede duas coisas:
(a) Verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito;
(b) Resolver por Gauss–Seidel, se possível, tomando [\varepsilon = 5 \times 10^{-2}).
Matriz dos coeficientes A\] tem diagonais \(a_{11}=a_{22}=a_{33}=a_{44}=1 e outros coeficientes conforme o sistema.
Vetor de termos independentes b é (0,2,\,-2,6,\;1,0,\,-2,5)^{T}.
Tolerância para o critério de parada: \varepsilon = 5\times 10^{-2}=0,05.]
Passo 2
O que é o critério de Sassenfeld (explicação didática): Sassenfeld dá uma condição suficiente para a convergência do método iterativo de Gauss–Seidel. Define-se uma sequência de números \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n por
e \max_i\beta_i=\beta_1=0,7<1. Portanto o critério de Sassenfeld é satisfeito, o que garante que o método de Gauss–Seidel converge (para qualquer palpite inicial). Conclusão da parte (a): sim, o critério é satisfeito.
Passo 4
Preparação para aplicar Gauss–Seidel (explicação didática do método): Gauss–Seidel itera resolvendo cada equação em sequência pela incógnita correspondente, usando os valores mais recentes já calculados na mesma iteração. Como as diagonais são todas 1, fica simples isolar cada variável. Das equações temos as fórmulas iterativas (cada linha isolada para x_i):
Como a máxima diferença 0,0409126\dots é menor que \varepsilon=0,05, o critério de parada está satisfeito. Portanto paramos na iteração 4.
Interpretando: por causa do critério de Sassenfeld já verificado, sabemos que a convergência era esperada; aqui a solução aproximada após 4 iterações (com o critério pedido) é x^{(4)} acima.