Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y, z)=(x, 2 y, 3 z). Determine os autovalores e autovetores de T e explique, com suas palavras, o significado geométrico de um autovetor.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x,2y,3z).
As perguntas são:
Determinar os autovalores (eigenvalues) de T.
Determinar os autovetores (eigenvectors) de T.
Explicar, com palavras, o significado geométrico de um autovetor.
Informações relevantes fornecidas:
A regra de T aplica fatores escalares diferentes em cada coordenada: coeficiente 1 na coordenada x, 2 na coordenada y e 3 na coordenada z.
Nenhuma outra informação é necessária.
Passo 2
Definição e método geral (aula curta e prática).
Dizemos que \lambda\in\mathbb{R} é um autovalor de T se existe um vetor não-nulo v\in\mathbb{R}^3 tal que
T(v)=\lambda v.
Esse vetor v\neq 0 é um autovetor associado a \lambda.
Em coordenadas: se v=(x,y,z) então a condição T(v)=\lambda v vira um sistema de equações que podemos resolver para \lambda e v.
Explicando variável a variável:
x,y,z são as componentes do autovetor procurado.
\lambda é o escalar que multiplica o vetor inteiro (pode esticar, encolher ou inverter sentido).
Passo 3
Escrever a equação T(v)=\lambda v para um vetor genérico v=(x,y,z), v\neq 0.
Interpretação: para cada componente, ou o fator multiplicador (k-\lambda) é zero ou a componente correspondente é zero. Se \lambda não for igual a 1,2 ou 3, então todos os coeficientes (1-\lambda),(2-\lambda),(3-\lambda) são não nulos, o que forçaria x=y=z=0, contradizendo v\neq0. Portanto os únicos candidatos a autovalores são
\lambda=1,\qquad \lambda=2,\qquad \lambda=3.
Passo 5
Encontrar os autovetores para \lambda=1.
Substituindo \lambda=1 nas equações
(1-1)x=0,\quad (2-1)y=0,\quad (3-1)z=0
ficam
0\cdot x=0,\quad 1\cdot y=0,\quad 2\cdot z=0,
isto é y=0 e z=0, enquanto x é livre (pode ser qualquer número real diferente de zero para ter autovetor não-nulo). Logo os autovetores associados a \lambda=1 são todos os vetores da forma
(x,0,0),\qquad x\neq 0,
ou seja, o subespaço próprio (autoespaço) é \operatorname{span}\{(1,0,0)\}.
Passo 6
Encontrar os autovetores para \lambda=2.
Substituindo \lambda=2 temos
isto é x=0, y=0, e z livre. Logo os autovetores para \lambda=3 são
(0,0,z),\qquad z\neq 0,
ou seja, autoespaço \operatorname{span}\{(0,0,1)\}.
Passo 8
Resumo das conclusões algébricas (forma conveniente de lembrar na prova):
Os autovalores são exatamente \lambda=1,2,3.
Os autovetores associados são todas as múltiplos não-nulos de (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), respectivamente.
Observação: a matriz de T na base canônica é a matriz diagonal
o que torna óbvio que as direções das bases canônicas são auto-direções (autovetores).]
Passo 9
Significado geométrico de autovetor (explicação intuitiva e prática, estilo amigo ensinando).
Um autovetor é uma direção no espaço tal que, ao aplicar a transformação linear, o vetor apenas é escalado (esticado ou encolhido) e possivelmente trocado de sentido; a direção não gira.
Formalmente: se v é autovetor com autovalor \lambda, então T mapeia a reta que passa pela origem e por v na mesma reta (a reta é um subespaço invariável). O ponto v vai para \lambda v: se |\lambda|>1 a reta é esticada nessa direção; se 0<|\lambda|<1 é contraída; se \lambda<0 além de mudar o comprimento também inverte o sentido.
No caso desta transformação: vetores ao longo do eixo x não mudam de comprimento (\lambda=1), vetores ao longo do eixo y são duplicados (\lambda=2) e vetores ao longo do eixo z são triplicados (\lambda=3). Portanto as três retas coordenadas são invariantes sob T.
Resposta
Autovalores: \lambda=1,\; \lambda=2,\; \lambda=3.
Autovetores: vetores não nulos da forma (x,0,0) para \lambda=1; (0,y,0) para \lambda=2; (0,0,z) para \lambda=3 (ou seja, autoespaços \operatorname{span}\{(1,0,0)\}, \operatorname{span}\{(0,1,0)\}, \operatorname{span}\{(0,0,1)\}).
Significado geométrico: um autovetor indica uma direção que a transformação apenas escala (não gira); aqui as três direções coordenadas são invariantes e são esticadas segundo os fatores 1,2,3, respectivamente.